Детали машин



Основы расчета на прочность зубчатых колес



Условия работоспособности зубчатых передач

Передача нагрузки в зубчатой передаче происходит в результате соприкосновения боковых профилей сопряженных зубьев. Под действием сил давления зубья находятся в сложнонапряженном состоянии. При этом нагружается и поверхность зубьев (линейный контакт), и весь объем зуба. Поэтому работоспособность передачи оценивается контактной прочностью боковой поверхности зубьев и объемной прочностью зуба при сложном нагружении. Оценка прочности зубьев усложняется действием переменной нагрузки на зуб, изменяющейся по прерывистому пульсирующему циклу.

расчет зубчатых передач на прочность

При недостаточной контактной прочности поверхности зубьев происходит усталостное выкрашивание рабочих поверхностей.
Поломки зубьев в основном тоже носят усталостный характер и происходят либо при перегрузках передачи, либо при недостаточной их объемной прочности. При объемном нагружении зубьев главным видом деформации является изгиб. Поэтому оценку объемной прочности зубьев обычно проводят по деформации изгиба. Таким образом, в зубчатых передачах при оценке работоспособности используют два условия:

а) условие контактной прочности поверхности:

σН [σ]Н;        (1)

б) условие объемной прочности при деформации изгиба:

σF [σ]F.        (2)

Таким образом, стандартный расчет зубчатых передач на прочность сводится к определению действующих в материалах колес напряжений (контактных и деформации изгиба) и сравнения полученных значений с допускаемыми напряжениями для этих материалов.

Сложность расчетов зубчатых колес на прочность обусловлена характером нагрузки, действующей в зоне контакта колес. Определение величины этой нагрузки, называемой расчетной нагрузкой – наиболее сложная задача, выполняемая при расчетах зубчатых передач. Ответственным этапом при расчетах вызывает правильная оценка допускаемых напряжений в зоне контакта зубьев.

***

Оптимизация параметров передачи

Стандартная зубчатая передача с эвольвентным зацеплением обеспечивает неразрывность контакта сопряженных зубьев в процессе работы и постоянное передаточное отношение в пределах допустимой погрешности. Для такой передачи основной критерий работоспособности – обеспечение контактной и изгибной прочности зубьев.
Кроме того, в условия работоспособности необходимо внести ряд существенных дополнений, учитывающих специфику нагружения, особенности конструкции и условий эксплуатации, позволяющих оптимизировать параметры проектируемой передачи – ее габариты, вес, стоимость изготовления.
Наиболее часто при проектировании передачи учитываются следующие условия оптимизации параметров:

  • минимальное число зубьев;
  • минимальное отклонение передаточного отношения;
  • обеспечение стандартных значений модуля и межосевого расстояния;
  • снижение до минимума неравномерности распределения нагрузки по длине зуба за счет минимизации ширины венца;
  • минимальный угол наклона зубьев из условия торцевого перекрытия;
  • минимальная масса и момент инерции колес;
  • оптимальные коэффициенты смещения инструмента из условия наибольшей прочности зуба;
  • оптимальные твердость и марка материала из условий эксплуатации.

***

Режимы нагружения

При работе зубчатой передачи зубья, входя поочередно в зацепление, подвергаются нагружению по прерывистому отнулевому циклу. Если параметры цикла неизменны во времени, то режим нагружения называют постоянным.

Большинство зубчатых передач работает при переменных режимах нагружения, которые задают циклограммой, т. е. графиком изменения вращающего момента Т (нагрузки) во времени (рис. 1).

режимы нагружения зубчатых передач

Исследованиями и практическими испытаниями установлено, что при всем многообразии циклограмм моментов их можно приближенно свести к шести стандартным типовым режимам нагружения для большинства машин.

При вычерчивании графиков типовых режимов нагружения фактическую циклограмму (рис. 1, а) заменяют упорядоченной циклограммой (рис. 1, б), на которой вращающие моменты Тi, действующие в течение требуемого ресурса NK, располагают последовательно в порядке убывания их значений.

Затем строят эту циклограмму (рис. 2) в относительных координатах Тimax, ΣNi/NK и полученную ступенчатую циклограмму заменяют плавной огибающей кривой. Так получают графическое изображение шести типовых режимов нагружения, которые на рис. 2 обозначены:

циклограмма зубчатой передачи

0 – постоянный режим нагружения – является наиболее тяжелым. его принимают за расчетный для неопределенных режимов нагружения (например, редуктор общего назначения может быть использован в различных нестандартных условиях). К режимам постоянного нагружения относят режимы с отклонениями до 15%. При этом за расчетную принимают нагрузку, соответствующую номинальной мощности двигателя.

I – тяжелый режим нагружения – характерен для машин, которые работают бόльшую часть времени с нагрузками, близкими к номинальным, например, для горных машин.

II – средний равновероятный режим нагружения – характерен для машин, которые работают одинаковое время при всех значениях нагрузок, например, для транспортных машин.

III – средний нормальный режим нагружения – характерен для машин, которые работают бόльшую часть времени при средних нагрузках, например для достаточно интенсивно эксплуатируемых машин.

IV – легкий режим нагружения – характерен для машин, которые работают бόльшую часть времени с нагрузками ниже средних, например для широко универсальных металлорежущих станков.

V – особо легкий режим нагружения – характерен для машин, которые работают бόльшую часть времени с малыми нагрузками, например, для металлорежущих станков.

Использование перечисленных выше типовых режимов нагружения позволяет упростить прочностные расчеты передач, в т. ч. – зубчатых.

В расчетах зубчатых передач на выносливость фактический переменный режим нагружения заменяют эквивалентным (по усталостному воздействию) постоянным режимом.

Чтобы понять значение эквивалентного режима работы предположим, что зубья колеса работают в переменном режиме, имеющем несколько ступеней, и на каждой i-й ступени испытывают Ni циклов нагружения. Опытным путем установлено, что разрушение зубьев при действии циклических напряжений происходит после суммы ΣNi циклов нагружений в результате постепенного накопления в материале микроскопических дефектов и повреждений (микротрещин, раковин и т. п.).

При работе на нескольких ступенях нагружения повреждения продолжают независимо нарастать по линейному закону, поэтому их можно линейно суммировать.

Следовательно, фактический переменный режим нагружения можно заменить эквивалентным постоянным режимом, при котором зубья колеса приобретают равноценную степень усталостного повреждения.

В качестве эквивалентного принимают постоянный режим с номинальным моментом Т, равным наибольшему из длительно действующих моментов (на рис. 1 Т = Тmax = ТЗ) и эквивалентным числом циклов нагружения NE.

Эквивалентные числа циклов нагружения NНЕ и NFE при расчете на контактную и изгибную прочность определяют соответственно по формулам:

NНE = μНNK;       NFE = μFNK,

где μН и μF – коэффициенты эквивалентности для типовых режимов нагружений (табл. 1).

Таблица 1. Значение коэффициентов эквивалентности μН и μF

Обозначение режима по рис. 2
μН
μF
qF = 6
qF = 9
0
1,000
1,000
1,000
I
0,500
0,300
0,200
II
0,250
0,143
0,100
III
0,180
0,065
0,063
IV
0,125
0,038
0,016
V
0,063
0,013
0,004

В таблице 1 qF - показатель степени уравнения кривой усталости при изгибе: для нормализованных и улучшенных колес qF = 6, для закаленных и поверхностно упрочненных зубьев qF = 9.

Требуемый ресурс NK рассчитываемого зубчатого колеса в циклах при частоте вращения n, об/мин, и времени работы Lh, ч:

NK = 60nnЗLh,

где nЗ – число зацеплений зуба рассчитываемого колеса за один его оборот (численно равно числу колес, находящихся в зацеплении с рассчитываемым колесом).

***

Методика расчета зубчатых колес на прочность


Определение действительных контактных напряжений

При оценке работоспособности по условию контактной выносливости (1) необходимо вычислить фактические контактные напряжения, возникающие на боковых поверхностях зубьев. Экспериментальные исследования показывают, что разрушение профилей зубьев начинается в местах, расположенных в зоне начальных окружностей.
Для определения контактных напряжений можно воспользоваться формулой Герца для вычисления максимального нормального напряжения в зоне соприкосновения двух цилиндров по линейному контакту:

σН = √{qEпр / [2π(1 - ν2пр},

где q – нагрузка на единицу длины линии контакта (удельная нагрузка); q = FtKН/bw,
здесь KН – коэффициент нагрузки; bw – рабочая ширина зубчатого колеса;
Епр – приведенный модуль упругости, получаемый из соотношения 2пр = 11 + 12; (здесь 1 - некоторая характеристика податливости материала), откуда: Епр = 2Е1Е2/(Е1 + Е2); для колес, изготовленных из одного материала, Епр = Е;
ν - коэффициент Пуассона;
ρпр – приведенный радиус кривизны цилиндров, определяемый из соотношения 1пр = 1/R1 + 1/R2, (здесь 1пр - кривизна поверхности), откуда: ρпр = R1R2 / (R1 + R2).

Выразив величину напряжений через нагрузку и характеристики сопрягаемых поверхностей зубьев в зоне контакта, и введя коэффициент нагрузки KН для компенсации неучтенных других видов напряжений, получим формулу для определения действительных контактных напряжений работе зубчатой передачи.

***

Определение действительных напряжений при изгибе зубьев

При оценке напряжений изгиба принимают, что зуб ведомого колеса испытывает наибольшие напряжения в начале зацепления, а вся нагрузка передается одной парой зубьев в течение всего периода зацепления. Экспериментальные исследования показывают, что ошибки изготовления, приводящие к расхождению окружных шагов, не компенсируются полностью деформациями зубьев. В результате наиболее нагруженными зубья будут в начале и в конце зацепления.

Расчетную схему зуба можно представить в виде жестко защемленной балки, нагруженной нормальной силой F, приложенной к вершине зуба. Возникающая сила трения Fтр между зубьями приводит к отклонению силы нормального давления на угол трения α.
Величину силы F' находят по формуле F' =F/cos α.
Полученную силу F' раскладывают на продольную и поперечную составляющие. Продольная составляющая N вызывает в зубе деформацию сжатия, а поперечная Q – деформации сдвига и изгиба.

Таким образом, зуб испытывает сложную деформацию. Однако напряжения сжатия малы по сравнению с напряжениями изгиба. Поэтому суммарные нормальные напряжения в опасном сечении зависят в основном от напряжений изгиба, уменьшенных на величину напряжения сжатия. Обычно расчет зуба ведут по той стороне зуба, на которой находят растянутые волокна, так как там быстрее появляются усталостные трещины.
Выразив величину напряжений через нагрузку и характеристики сечения и введя коэффициент нагрузки KF для компенсации неучтенных других видов напряжений, определяют действительные напряжения при изгибе зубьев:

σF = KF×F×l/WЗ,

где l – плечо изгиба (расстояние от ножки зуба до опасного сечения;
WЗ –момент сопротивления изгибу опасного сечения ножки зуба.

***

Расчетная нагрузка

Каждый зуб колеса можно условно представить в виде балки, подверженной во время работы динамическим нагрузкам отнулевого цикла. Эти нагрузки вызывают контактные напряжения в материале зуба, обусловленные криволинейностью рабочей поверхности зубьев, и изгибающие напряжения из-за пульсирующих поперечных нагрузок.
расчет зубчатых колес на контактную и изгибную прочность Длительное воздействие пульсирующих контактных напряжений и напряжений, обусловленных изгибом, вызывает усталость материала колеса, что приводит к различным повреждениям – разрушению рабочей поверхности зуба или даже его поломке.

Следует учитывать, что зубья колес, в отличие от принимаемых при расчетах в сопромате элементарных балок, подвержены сложным нагружениям, поэтому их прочностной расчет сопровождается учетом многочисленных факторов, влияющих на величину нагрузки на зубья во время работы передачи. При работе зубчатых колес в их зацеплении возникают дополнительные нагрузки, связанные с условиями эксплуатации, погрешностями в изготовлении и монтаже, деформациями валов и опор и др. Влияние этих факторов на прочностные свойства зубчатых колес учитывается различными коэффициентами, составляющими в результате суммарного воздействия коэффициент нагрузки К.
Коэффициент нагрузки вводится с целью компенсации неучтенных дополнительных напряжений, возникающих из-за сложного нагружения зубьев, особенностей конструкции и эксплуатации колес. Проблема выбора значения коэффициента нагрузки в зубчатых передачах – одна из сложных.

В конечном итоге при расчетах номинальные (проектные) силы Fном или моменты Тном умножают на коэффициент нагрузки К, определяя тем самым расчетную нагрузку, максимально приближенную к действительной:

F = KFном     или      Т = КТном,

где F и Т – расчетные сила и момент; Fном и Тном – номинальные сила и момент, соответствующие требуемой (проектной) мощности рассчитываемой машины.

Коэффициент нагрузки определяют отдельно для каждого из основных критериев работоспособности зубчатых колес. Основными критериями работоспособности для большинства зубчатых колес является усталостная контактная прочность, а также прочность зубьев при изгибе.

***

Коэффициент нагрузки при расчете на контактную прочность

При расчете по контактным напряжениям (на усталостную контактную прочность) коэффициент нагрузки KН определяется по формуле:

KН = КА×K×K×KHv,

где КА – коэффициент, учитывающий внешнюю динамическую нагрузку, не учтенную в циклограмме, и зависит от степени равномерности нагружения двигателя и исполнительного звена. При равномерном режиме нагружения двигателя и режиме нагружения исполнительного звена с малой неравномерностью КА = 1,25. При задании нагрузки циклограммой моментов или типовым режимом нагружения (см. выше), в которых учтены внешние динамические нагрузки, КА = 1.

K – коэффициент концентрации нагрузки по ширине зубчатого венца. Этот коэффициент учитывает неравномерность распределения нагрузки по длине контактных линий зубьев в зацеплении, в том числе и изменение нагрузки по контактной линии, обусловленной изменением угла наклона зуба β.
Коэффициент K зависит от угла перекоса зубчатых колес и от податливости сопряженных зубьев. Угол перекоса, в свою очередь, зависит от деформации валов вследствие изгиба и скручивания (для шестерен, нарезаемых на валах), а также упругих смещений опор. Очевидно, что для широкого колеса неравномерность распределения нагрузки будет большей, чем для узкого.

При расчетах учитывается способность зубьев колес прирабатываться. Приработка – это изнашивание более нагруженных участков рабочих поверхностей зубьев, после чего нагрузка распределяется по зубу более равномерно. Поэтому рассматривают коэффициенты неравномерности распределения нагрузки в начальный период работы K0 и после приработки K. Значение коэффициента K0 определяют по справочным таблицам в зависимости от коэффициента ψbd = b2/d1, схемы передачи и твердости зубьев.
Для снижения коэффициента K неравномерности распределения нагрузки по длине контактной линии следует располагать колеса симметрично опор, увеличивать жесткость зубчатых колес, валов, опор, повышать точность изготовления, применять бочкообразные зубья и т. п.

KHa – коэффициент, учитывающий распределение нагрузки между зубьями. Этот коэффициент учитывает влияние ошибок окружного шага и направления зубьев от погрешностей изготовления. Значение коэффициента KHa определяют в зависимости от степени nст точности колеса по нормам плавности.

Для прямозубых передач:

KHa = 1 + 0,06(nст5) при условии 1К1,25.

Для косозубых передач:

KHa = 1 + С(nст5) при условии 1К1,6,

где С = 0,15, если твердость поверхностей зубьев шестерни и колеса Н1 и Н2 > 350 НВ; С = 0,25 при твердости Н1 и Н2350 или при Н1 > 350 НВ, а Н2350 НВ.

KHv – коэффициент, учитывающий внутреннюю динамику нагружения в зацеплении, связанную с погрешностями шагов зацепления, профилей и деформацией зубьев шестерни и колеса. На величину этого коэффициента значительное влияние оказывает неточность изготовления и монтажа передачи, а также окружная скорость колес.
Внутренняя динамическая нагрузка (присущая самой передаче) связана с ударами зубьев на входе в зацепление из-за ошибок шагов по основной окружности. Ошибки изготовления малы, и компенсируются деформациями зубьев, поэтому зацепление происходит, но с ударом (рис. 4). В зависимости от характера погрешности в шаге может иметь место кромочный (по вершине зуба – когда шаг шестерни меньше шага колеса) или срединный (в середине линии зацепления – когда шаг шестерни больше шага колеса).
Коэффициент внутренней динамической нагрузки KHv принимают по справочным таблицам в зависимости от степени точности, окружной скорости и твердости рабочих поверхностей.

Для определения величин перечисленных коэффициентов в справочной литературе приводятся соответствующие графики, таблицы, формулы и аппроксимирующие зависимости.

расчеты на прочность зубчатых передач

***




Коэффициент нагрузки при расчете на изгибную прочность

При расчете зубчатых колес по напряжениям изгиба коэффициент нагрузки определяется по формуле:

KF = КА×K×K×KFv,

где K – коэффициент концентрации нагрузки по ширине зубчатого венца при изгибе. При расчетах на изгиб этот коэффициент определяется по формуле:

K = 0,18 + 0,82 K0,

где K0 – коэффициент неравномерности распределения нагрузки в начальный период работы (справочная величина).

K – коэффициент, учитывающий влияние погрешностей изготовления шестерни и колеса на распределение нагрузки между зубьями при изгибе. Обычно при расчетах принимают K = K.

KFv – коэффициент, учитывающий внутреннюю динамическую нагрузку в зацеплении при изгибе. Значение этого коэффициента принимают по справочным таблицам с учетом степени точности, окружной скорости и твердости поверхностей зубьев колес.

***

Допускаемые напряжения в зубчатых колесах

Во время работы зубчатой передачи зубья колес входят в зацепление поочередно и нагружаются по прерывистому отнулевому циклу. Поэтому выбор допускаемых напряжений базируется на кривых усталости, получаемых экспериментально на образцах зубчатых колес и построенных в полулогарифмических координатах σ – N (рис. 5).
С помощью кривых усталости определяют число циклов до разрушения или ресурс передачи. Кривые строят для различных видов напряжения – контактных или изгиба, для разных материалов и видов термической обработки, а также других параметров проектируемой передачи.

Допускаемые контактные напряжения для шестерни [σ]H1 и колеса [σ]H2 определяют по общей формуле с учетом влияния на контактную прочность долговечности (ресурса), шероховатости сопрягаемых поверхностей зубьев и окружной скорости:

[σ]H = σH lim×ZN×ZR×Zv/[s]H,

где σH lim - предел контактной выносливости, определяемый по справочным таблицам в зависимости от материала зубчатого колеса и средней твердости поверхности зубьев Нср, равной полусумме верхнего и нижнего значений твердости.

Таблица 2. Значения σH lim, соответствующие базовому числу циклов нагружения

Способ термической или химико-термической обработки
Средняя твердость поверхности Нср
Сталь
σH lim,
Н/мм2
Улучшение, нормализация
350 НВ
Углеродистая и легированная
2Нср +70
Поверхностная закалка
40…50 HRC
Углеродистая и легированная
17Нср + 200
Цементация, нитроцементация и закалка
56…65 HRC
Легированная
23Нср
Азотирование
52…62 HRC
Легированная
1050

ZN – коэффициент долговечности, учитывающий влияние ресурса, величина которого должна быть в пределах между единицей и ZNmax: 1ZNZNmax;
ZNmax = 2,6 для материалов с однородной структурой (нормализованных, улучшенных, объемно-закаленных);
ZNmax = 1,8 для поверхностно упрочненных материалов (закалка ТВЧ, цементация, азотирование).
Расчетный коэффициент долговечности определяется по формуле:

ZN = 6√(NHG/NHE),

где NHG – базовое число циклов, соответствующее пределу выносливости и определяемое по справочным таблицам с учетом твердости поверхности зубьев;
NHE – эквивалентное число циклов, определяемое с помощью коэффициентов эквивалентности для типовых режимов нагружения (см. выше).

ZR – коэффициент, учитывающий влияние шероховатости сопряженных поверхностей зубьев. Его выбирают по параметру шероховатости Ra зубчатого колеса пары с более грубой поверхностью:
ZR = 1 при Ra = 0,63…1,25 мкм;
ZR = 0,95 при Ra = 1,25…2,50 мкм;
ZR = 0,90 при Ra = 2,50…10,0 мкм.

Zv – коэффициент, учитывающий влияние окружной скорости, принимаемый из справочных таблиц с учетом средней твердости Нср поверхности зубьев. Повышение скорости v улучшает образование надежного масляного слоя между зубьями и уменьшает силу трении, что повышает Zv.

[s]H – коэффициент запаса прочности:
для зубчатых колес с однородной структурой материала принимают равным 1,1;
для зубчатых колес с поверхностным упрочнением принимают равным 1,2.

Цилиндрические и конические передачи с прямыми зубьями рассчитывают по допускаемому напряжению [σ]H, равному меньшему значению из допускаемых напряжений для шестерни и колеса.

Для цилиндрических и конических передач с непрямыми зубьями, в связи с наклонным расположением линии контакта, допускаемые напряжения [σ]H определяют с учетом допускаемых напряжений шестерни [σ]H1 и колеса [σ]H2 по формуле:

[σ]H = 0,45[σ]H1 + [σ]H2 [σ]H min

при выполнении условия для:
цилиндрических передач [σ]H1,25[σ]H min;
конических передач [σ]H1,15[σ]H min,
где [σ]H min – меньшее из двух напряжений: [σ]H1 и [σ]H2.

***

Допускаемые напряжения изгиба

Допускаемые напряжения изгиба для шестерни [σ]F1 и колеса [σ]F2 определяют с учетом влияния на выносливость при изгибе долговечности (ресурса), шероховатости поверхности выкружки (переходной поверхности между смежными зубьями) и реверса (двустороннего приложения) нагрузки:

[σ]F = σF lim×YN×YR×YA×YZ/[s]F.

В этой формуле учитываются следующие расчетные параметры:

σF lim – предел выносливости при отнулевом цикле нагружения – выбирают по справочным таблицам в зависимости от материала, термообработки и твердости зубьев.

YN – коэффициент долговечности, учитывающий влияние ресурса, определяемый по формуле с учетом показателя степени кривой усталости qF, базового NFG и эквивалентного NFE числа циклов:

ZN = qF√(NFG/NFE) при условии: 1ZNZN max,

для нормализованных и улучшенных колес qF = 6 (YN max = 4);
для закаленных и поверхностно-упрочненных колес qF = 9 (YN max = 2,5);
базовое число циклов NFG, соответствующее перелому кривой усталости: NFG = 4×106;
эквивалентное число циклов NFE определяют с помощью коэффициентов эквивалентности для типовых режимов нагружения (см. выше). Для длительно работающих передач YN = 1.

YR – коэффициент, учитывающий шероховатость переходной поверхности между зубьями принимают равным:
YR = 1 при шлифовании и зубофрезеровании с высотой микронеровностей Rz40 мкм;
YR = 1,05…1,2 при полировании (бόльшие значения при улучшении и после закалки ТВЧ).

YA – коэффициент, учитывающий влияние двустороннего приложения нагрузки (реверса):
YA = 1 при отсутствии реверса;
YA = 0,65…0,9 – при реверсивной нагрузке (0,65 – для улучшенных сталей; 0,75 – для цементированных, закаленных; 0,9 – для азотированных сталей).

YZ – коэффициент, учитывающий способ получения заготовки колеса:
YZ = 1 – для поковки;
YZ = 0,9 – для проката;
YZ = 0,8 – для литых заготовок.

[s]F коэффициент запаса прочности. Обычно для зубчатых колес принимают [s]F = 1,7. Для цементованных (с автоматическим регулированием процесса) зубчатых колес коэффициент запаса можно уменьшить до значения [s]F = 1,55. Для литых заготовок [s]F = 2,2.

***

Особенности расчета косозубых, шевронных и конических передач

Прочностные расчеты закрытых косозубых цилиндрических и конических колес проводят аналогично вышерассмотренным расчетам прямозубых цилиндрических колес. Предварительно косозубые цилиндрические и конические колеса приводят к так называемым эквивалентным прямозубым цилиндрическим колесам.
Расчет на прочность косозубых передач ведут по формулам расчета прямозубых передач с учетом поправочных коэффициентов, учитывающих особенности их работы: бόльшую плавность работы (меньшие значения коэффициента внутренней динамической нагрузки), бόльшую длину контактных линий, бόльшее сопротивление усталости при изгибе (меньшие значения коэффициента формы зуба и концентрации напряжений.
Расчет шевронных передач аналогичен расчету косозубых передач.

***

Материалы для изготовления зубчатых колес