Детали машин





Основы теории зубчатого колеса



Основная теорема зацепления

Профили зубьев колес должны быть сопряженными, т. е. заданному профилю зуба одного колеса должен соответствовать вполне определенный профиль зуба другого колеса.
Чтобы выяснить, какова должна быть форма профиля зубьев пары колес, чтобы зацепление обеспечивало требуемое постоянство передаточного отношения, рассмотрим два зуба С и D, принадлежащих шестерне и колесу передачи и соприкасающихся в точке S (см. рисунок 2).

теория зубчатого зацепления

С – ведущее колесо с центром вращения О1, а D – ведомое колесо с центром вращения в точке О2. Расстояние aw между центрами О1 и О2 неизменно.
Зуб шестерни, вращаясь с угловой скоростью ω1, оказывает давление на зуб колеса, сообщая ему угловую скорость ω2.

Проведем через точку S общую для обоих профилей касательную ТТ и нормаль NN.
Очевидно, что окружные скорости точки касания зубьев S относительно центров вращения О1 и О2 будут равны:

v1 = О11     и     v2 = О22.

Разложим скорости v1 и v2 на составляющие v'1 и v'2 по направлению нормали NN и составляющие v''1 и v''2 по направлению к касательной ТТ.
Для обеспечения постоянного касания профилей необходимо соблюдение условия v'1 = v'2, иначе, если скорость точки касания на зубе шестерни будет меньше скорости точки касания на зубе колеса (т. е. v'1 < v'2) , то зуб шестерни отстанет от зуба колеса, если же точка касания на зубе шестерни будет больше точки касания на зубе колеса (v'1 > v'2), произойдет врезание зубьев.

Опустим из центров О1 и О2 перпендикуляры О1В и О2С на нормаль NN.
Поскольку треугольники aeS и BSO1 подобны, можно записать:

v'1/v1 = О1В/О1S,

откуда получим:

v'1 = v1О1В/О1S = ω1О1В.

Из подобия треугольников afS и CSO2 следует:

v'2/v2 = О2С/О2S,

откуда

v'2 = v2О2С/О2S = ω2О2С.

Но v'1 = v'2, следовательно:

ω1О1В = ω2О2С.

Передаточное число:    u = ω12 = О2С/О1В.       (1)

Нормаль NN пересекает линию центров О1О2 в точке П, называемой полюсом зацепления.
Из подобия треугольников О2ПС и О1ПВ следует:

О2С/О1В = О2П/О1П = rw2/rw1.       (2)

Сравнивая соотношения (1) и (2), получим:

u = ω1/ ω2 = rw2/ rw1 = const.       (3)

Это соотношение выражает основную теорему зацепления, которая может быть сформулирована следующим образом:
Для обеспечения постоянного передаточного числа зубчатых колес профили их зубьев должны быть очерчены по кривым, у которых общая нормаль NN, проведенная через точку касания профилей, делит расстояние между центрами О1О2 на части, обратно пропорциональные угловым скоростям.





Полюс зацепления П сохраняет неизменное положение на линии центров О1О2, поэтому радиусы rw2 и rw1 также неизменны. Окружности радиусов rw1 и rw2 называют начальными.
При вращении зубчатых колес начальные окружности перекатываются друг по другу без скольжения, о чем свидетельствует равенство скоростей ω1 rw1 и ω2 rw2, полученное из формулы (3).

***

Из множества кривых, удовлетворяющих требованиям основной теории зацепления, практическое применение в современном машиностроении получила эвольвента окружности, которая обладает следующими свойствами:

  • позволяет получить сравнительно точно и просто профиль зуба в процессе нарезания;
  • без нарушения правильности зацепления допускает некоторое изменение межосевого расстояния aw, которое может появиться в результате неточностей изготовления и сборки, деформации деталей передачи при работе;
  • обеспечивает высокую точность и долговечность зубьев, малые скорости скольжения точек контакта на поверхности зацепляющихся зубьев и высокий КПД.

***

Эвольвента окружности и ее свойства

Эвольвентой окружности называют плоскую кривую переменной кривизны, которую описывает точка S прямой NN, перекатываемой без скольжения по окружности радиуса rb. Эту окружность называют эволютой или основной окружностью, а перекатываемую кривую NN – производящей прямой.

Характер зубчатого зацепления определяется свойствами эвольвенты:

  • Производящая прямая NN является одновременно касательной к основной окружности и нормалью ко всем производимым ею эвольвентам.
  • Две эвольвенты одной и той же основной окружности эквидистантны (т. е. расстояние между эвольвентами в направлении нормали везде одинаковое).
  • С увеличением радиуса основной окружности эвольвента становится более пологой и при стремлении радиуса к бесконечности эвольвента обращается в прямую линию.
  • Радиус кривизны эвольвенты в точке S2 равен длине дуги S0B основной окружности. Центр кривизны эвольвенты в данной точке находится на основной окружности.

***

Неисправности зубчатых передач