Основы гидравлики





Плавание тел и закон Архимеда



Почему одни тела плавают, другие тонут?

Наверное, каждый иногда задавался вопросом - почему некоторые тела плавают по водной глади, и всплывают на поверхность, даже если попытаться их погрузить пучину, другие идут на дно, едва коснувшись воды?
плавучесть тел и закон Архимеда Этот незатейливый, но назойливый вопрос посещал человека с тех давних пор, как он стал познавать окружающий мир не только в поисках съедобного, но и в поисках интересного, т. е. с тех пор, как стал человеком более-менее разумным.

Казалось бы, все очень просто - если что-то легче воды - оно плавает по ее поверхности, если же тяжелее - непременно утонет. Но, опять же, следует вереница других вопросов - почему не тонет тяжелый железный крейсер? И как узнать - на какую глубину погрузится в воду то или иное тело, а какая его часть останется над поверхностью?
Ключика к этой головоломке долгое время никто не предлагал. И лишь один из многих миллионов представителей людского роду-племени сумел взглянуть на эту загадку несколько глубже, а точнее - погрузившись в ванну с водой.
Но давайте по порядку.

***

Рассмотрим действие сил на тело, полностью погруженное в жидкость.
Представим, что правильная прямоугольная призма погружена в жидкость (см. рис. 1) и определим, какие силы действуют на ее грани.

Боковые грани призмы находятся под действием сил гидростатического давления P1', P2', P3' и P4', которые попарно уравновешивают друг друга со стороны противоположных граней и не вызывают нарушения равновесия. А вот силы гидростатического давления P1 и P2, действующие на верхнюю и нижнюю (горизонтальные) грани призмы, неодинаковы.
На обе горизонтальные грани ΔS действуют силы внешнего (например, атмосферного) давления P0 и силы, равные весу столбов воды над этими гранями. При этом сила, действующая на нижнюю грань, направлена вверх, а сила, действующая на верхнюю грань – вниз (понятно, что внешняя сила не может действовать на нашу призму изнутри).

Как установил Блез Паскаль, внешнее давление (например, атмосферное) передается одинаково по всему объему жидкости каждой ее частичке. Тогда, учитывая равную площадь верхней и нижней граней, можно сделать вывод, что силы внешнего давления, действующие на верхнюю и нижнюю грани призмы, равны по величине и равновесия не нарушают.

Но, как мы уже отметили, кроме внешнего давления P0 на любой площадке в объеме жидкости действует давление, обусловленное весом жидкости, расположенной выше этой площадки. Очевидно, что давление на верхнюю и нижнюю грани призмы будет отличаться, поскольку они расположены на разной глубине.
закон Архимеда для плавающих тел Ну а поскольку различается давление, то и силы, действующие на эти грани призмы, тоже не одинаковы по величине. На верхнюю грань действует сила давления столба жидкости меньшая, чем на нижнюю грань, и (учитывая, что площади этих граней равны) можно сделать вывод, что разница будет равна весу жидкости, заключенной между гранями по высоте H, т. е. равна весу жидкости, заключенному в объеме нашей призмы.

Следовательно, на нижнюю грань призмы будет действовать сила, направленная вверх и превышающая направленную вниз силу, действующую на верхнюю грань, на величину, равную весу столбика жидкости, заключенного в объеме призмы, который в рассмотренном примере может быть определен по формуле V = ΔSH.

Равнодействующая этих двух сил ΔP будет направлена вверх и ее величина будет равна весу жидкости, заключенной в объеме призмы:

ΔP = ρV = ρΔSH, где ρ - плотность жидкости.

Таким образом, на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, объем которой равен объему погруженного тела.
Эта закономерность установлена более 2250 лет назад великим древнегреческим ученым Архимедом и носит название Закона Архимеда.
Обычно применяют следующую формулировку закона Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости.

Очевидно, что если тело погружено в жидкость частично, то выталкивающая сила будет равна весу объема жидкости, равной объему погруженной части тела.

На основании закона Архимеда можно сделать вывод, что для плавания тела необходимо, чтобы вес вытесняемый этим телом жидкости был равен или превышал вес самого тела.

Состояние тела, при котором выталкивающая сила равна весу самого тела называют нейтральной плавучестью. Нейтральная плавучесть характеризуется равновесным состоянием тела в толще воды, т. е. оно и не всплывает на поверхность, и не опускается на дно, пока малейшее усилие со стороны не вынудит его перемещаться куда-либо (неважно - куда).

***

Остойчивость плавающих тел

Рассматривая вопрос о плавучести тел следует отметить такую характеристику, как остойчивость.
Остойчивость - это способность плавающего тела восстанавливать исходное положение равновесия после прекращения действия на него внешней нагрузки, вызывающей крен. Из собственных экспериментов, проводимых в детстве, любой обыватель знает, что некоторые игрушечные кораблики легко переворачиваются при небольшом наклоне, а другие не так-то просто уложить на бок - они возвращаются в вертикальное положение, как игрушка-неваляшка.
Высокая остойчивость плавающих тел зависит от положения их центра тяжести, положения метацентра М - точки пересечения оси плавания с линией действия выталкивающей силы (при вертикальном положении тела эта точка лежит на линии действия выталкивающей силы), и от формы погруженной части плавающего тела.

Для остойчивости плавающего тела необходимо соблюдение условия: hм > 0,    где hм - высота расположения метацентра по сравнению с центром тяжести тела. Чем выше метацентр расположен относительно центра тяжести тела, тем остойчивее тело на плаву.
остойчивость плавающих тел Это объясняется приведенным рисунком: при крене выталкивающая сила ΔP, проходящая через метацентр М, и сила тяжести G, проходящая через центр тяжести, создают момент пары m с плечом h. Если центр тяжести расположен ниже метацентра, момент пары стремится вернуть судно в исходное вертикальное положение (рис. а).
Если же метацентр расположен ниже центра тяжести (рис. б), возникающий момент способствует переворачиванию судна.
В общем случае для плавающих тел высота метацентра определяется по формуле:

hм = J/V - a,

где:
J - момент инерции плоскости плавания относительно продольной оси;
V - объем тела;
а - расстояние от центра тяжести всего тела до центра его водоизмещения (центра тяжести погруженной части тела).

Очевидно, что высокая остойчивость судна будет иметь место в случае, когда его центр тяжести и центр водоизмещения будут расположены как можно ниже, а метацентр - как можно выше.
Кроме того, остойчивость зависит и от формы судна - на рисунке видно, что от взаимного расположения центра тяжести и центра приложения выталкивающей (архимедовой) силы зависит величина плеча пары, т. е. ее вращающая способность. Выталкивающая сила приложена к центру давления, расположение которого зависит от формы корпуса судна.
На практике применяют такие известные приемы повышения остойчивости судов, как размещение балласта в нижней части корпуса, на киле и даже на выносных элементах.

***



Пример решения задачи с использованием закона Архимеда

Определить, будет ли плавать на поверхности воды прямоугольная баржа, имеющая длину l = 50 м, ширину b = 3 м и высоту бортов h = 1 м.
Масса баржи с размещенным на ней грузом равна 120 тонн.
Плотность воды принять равной ρ = 1000 кг/м3, ускорение свободного падения g = 9,81 м/с2.

Решение:

Чтобы сделать вывод о плавучести баржи необходимо определить вес объема воды Vб, который она может вытеснить, не зачерпнув воду бортами, а затем сравнить его с весом самой баржи.
Максимальное количество (вес) воды, вытесняемой баржой (ее максимальное водоизмещение) может быть определено, как произведение объема погруженной в воду части баржи (т. е. объем баржи по самые борта) на плотность воды:

P = ρVб = ρ×l×b×h = 1000×50×3×1 = 150000 кг = 150 тонн.

Поскольку вес баржи (по условию задачи - 120 тонн) меньше ее максимального водоизмещения (150 тонн), она будет плавать на поверхности водоема.
Применив закон Архимеда можно легко подсчитать, на какую глубину погрузятся борта баржи, т. е. ее осадку.

***

Закон Архимеда широко используется при проектировании судов и других плавучих средств.

В общем случае этот закон подтверждает основное уравнение гидростатики, которое также можно применять для расчета плавучих средств. Согласно уравнению гидростатики давление на верхнюю сторону тела будет меньше давления на нижнюю сторону на разность столбов жидкости, которые на них давят.

При этом если плавающее тело (например, остов плавучего средства) имеет криволинейную или наклонную поверхность, то, разложением гидростатической силы (а она всегда направлена перпендикулярно поверхности) на две составляющие – горизонтальную и вертикальную (выталкивающую), можно определить величину выталкивающей «архимедовой» силы.

Плавучесть тел и закон Архимеда

Архимед (Ἀρχιμήδης, 287 до н. э. - 212 до н. э.) считается одним из самых выдающихся ученых Древней Греции. Он сделал множество интересных открытий в различных науках – математике, геометрии, физике, механике, гидравлике. Архимед прославился не только, как великий ученый своего времени, но и как талантливый инженер, автор многих изобретений, по праву считавшихся уникальными.

Легенда гласит, что свой знаменитый закон Архимед открыл, принимая ванну. В задумчивости он погрузил свое тело в воду, и, увидев, как вода в ванне поднялась и полилась через край, гениальный грек воскликнул "Эврика!", т. е. - "Нашел!".

Многообразие открытий и изобретений Архимеда поражают исследователей, изучающих его труды. К сожалению, многие из этих трудов безвозвратно утеряны, но даже те фрагменты, что сохранило время, свидетельствуют о величии этого человеческого ума.
Среди наиболее известных историй, связанных с изобретениями Архимеда, можно упомянуть сожжение римского флота у стен Сиракуз с помощью сферических зеркал, использование необычных в те времена метательных машин для обороны родного города, обещание гениального старца перевернуть Землю с помощью рычага.
Архимед открыл число π ("пи"), основал интегральное исчисление и сделал много интересных и важных открытий, используемых благодарными потомками тысячелетия спустя.

Родился Архимед в Сиракузах, греческой колонии на острове Сицилия, где прожил 75 лет, занимаясь науками до последнего своего вздоха. Осенью 212 года до н. э., после взятия Сиракуз римлянами, этот светоч древней науки трагически погиб от меча римского воина. Согласно преданию, ученый сосредоточенно чертил какие-то формулы прямо на песке, и проходивший мимо легионер наступил на его творение. Архимед возмущенно воскликнул: "Не тронь моих чертежей!", после чего римлянин хладнокровно зарубил его гладиусом.

***

Основы гидродинамики