Основы гидравлики





Решение задач по гидравлике



Решение задач с использованием закона Архимеда

Задача

Баркас массой mб = 250 кг изготовлен в форме параллелепипеда шириной b = 1 м, длиной l = 3 м, высота бортов h = 0,3 м.
Определить, сколько человек могут разместиться в баркасе, не потопив его.
Средняя масса человека mч = 70 кг, плотность воды ρ = 1000 кг/м3.

Правильное решение:

Определим водоизмещение баркаса Мmax, которое равно массе воды, вытесненной им при полном погружении (по обрез бортов).
Для этого определим объем корпуса баркаса и умножим полученный результат на плотность воды:

Мmax = b×l×h×ρ = 1×3×0,3×1000 = 900 кг.

Чтобы найти грузоподъемность Мгр баркаса, необходимо из полученного результата вычесть массу самого баркаса:

Мгр = Мmax - mб = 900 - 250 = 650 кг.

Разделив полученную максимальную грузоподъемность на среднюю массу человека, и округлив результат до целого числа, получим допустимое количество пассажиров баркаса:

n = Мгр/mч = 650/70 = 9 человек.

Ответ: баркас может принять на борт не более 9 человек.

***

Задача
закон Архимеда о плавучести тел

Медный шар диаметром d = 100 мм весит в воздухе G1 = 45,7 Н, а при погружении в жидкость его вес стал равен G2 = 40,6 Н.
Определить плотность жидкости.

Правильное решение:

Вес шара в жидкости меньше, чем его вес в воздухе, поскольку в жидкости на него действует выталкивающая архимедова сила, равная весу вытесненной шаром жидкости.
Очевидно, что вес вытесненной шаром жидкости будет равен разности между весом шара в воздухе и его весом в жидкости:

Gж = G1 – G2 = 45,7 – 40,6 = 5,1 Н.

Чтобы определить плотность жидкости, необходимо ее массу разделить на объем, который равен объему шара, определяемого по формуле:

Vш = πd3/6 = 3,14×0,13/6 = 0,00052 м3.

Массу жидкости можно определить, зная ее вес:

mж = Gж/g = 5,1/9,81 ≈ 0,52 кг.

Определив массу и объем, находим плотность жидкости:

ρ = mж/Vш = 0,52/0,00052 = 1000 кг/м3.

Ответ: плотность жидкости равна 1000 кг/м3 (судя по плотности, жидкость - вода).

***

Задача

Баржу, имеющую форму параллелепипеда, загрузили песком в количестве 18 тонн. Ее осадка (глубина погружения) составила h0 = 0,5 м.
Определить массу пустой баржи, если ее размеры: длина l = 12 м; ширина b = 4 м.
Какова полная грузоподъемность баржи, если высота ее бортов h = 1 м.
Плотность воды принять равной 1000 кг/м3.

Правильное решение:

В соответствии с законом Архимеда, на баржу со стороны воды действует выталкивающая сила, равная весу воды, вытесненной погруженной частью баржи. Этот вес (обозначим его GВ) можно определить, зная ширину, длину и осадку баржи, а также плотность воды:

GВ = mg = b×l×h0×ρ×g = 4×12×0,5×1000×9,81 = 235400 Н.

Итак, на баржу действует выталкивающая сила, равная 235400 Н, удерживая ее в равновесном состоянии на поверхности воды. Следовательно, вес GБГ баржи с грузом тоже равен 235400 Н, тогда масса баржи с грузом равна:

mБГ = GБГ/g = 235400/9,81 ≈ 24000 кг.

Чтобы найти массу пустой баржи, необходимо из массы груженой баржи вычесть массу груза:

mБ = mБГ - mГ = 24000 – 18000 = 6000 кг.

Очевидно, что при полном погружении баржи в воду (по самые борта), выталкивающая архимедова сила увеличится в два раза по сравнению с рассмотренным нами случаем, т. е. составит 2×235400 = 470800 Н.
Данная сила характеризует водоизмещение баржи, т. е. максимальное количество вытесняемой ее корпусом воды.
Однако, эта величина не характеризует полную грузоподъемность баржи, поскльку она сама имеет вес.
Исходя из этого, полная грузоподъемность баржи может быть подсчитана, как разница между массой вытесненной баржой воды и массой баржи:

Мmax = mВ - mБ = 47080 – 6000 = 41080 кг.

Ответ: пустая баржа весит 6 тонн, а ее полная грузоподъемность - 41 тонна.

***

Задача

Для переправы грузов через реку построен плот из 25 штук пустых железных бочек.
Размеры бочек: диаметр d = 0,8 м, высота h = 1,3 м.
Масса одной бочки m = 50 кг.
Определить грузоподъемность плота Мmax при условии его полного погружения.
Плотность воды принять равной ρ = 1000 кг/м3.

Правильное решение:

Определим объем бочек, из которых изготовлен плот:

V = 25 h πd2/4 = 25×1,3×3,14×0,82/4 = 16,33 м3.

Масса этих бочек: mБ = 25m = 25 × 50 = 1250 кг.

Масса воды, вытесняемой бочками при полном погружении плота, равна произведению плотности воды на объем бочек:

mВ = ρVБ = 1000×1,664 = 16330 кг.

Грузоподъемность плота равна массе вытесняемой бочками воды с учетом массы самих бочек:

Мmax = mВ – mБ = 16330 – 1250 = 15080 кг.

Ответ: максимальная грузоподъемность плота равна 15080 кг.

***




Решение задач с применением основного уравнения гидростатики

Задача

На рисунке изображены три сосуда разной формы, в каждый из которых налита вода на одинаковую высоту Н.
Площадь свободной поверхности в сосуде а больше площади свободной поверхности в сосуде в в два раза, но в два раза меньше площади свободной поверхности в сосуде б.
основное уравнение гидростатики Площадь дна во всех трех сосудах одинакова и равна S.
Во сколько раз сила давления на дно в сосуде а будет отличаться от силы давления на дно в сосуде в?
Ответ обоснуйте основным уравнением гидростатики.

Решение:

В соответствии с основным уравнением гидростатики p = p0 + γ(z0 – z), т. е. давление в любой точке объема жидкости зависит от внешнего давления p0 и глубины погружения рассматриваемой точки.
Поскольку внешнее давление для всех трех сосудов равно атмосферному давлению, т. е. одинаково, то давление на каждую из точек поверхности дна зависит только от уровня Н (т. е. глубины, равной z0 - z). Очевидно, что для всех трех сосудов, уровень жидкости в которых одинаков, давление на дно тоже будет одинаково.
Тогда и сила давления на дно, определяемая, как произведение площади дна на величину давления, во всех трех сосудах будет одинакова, несмотря на то, что они имеют разную форму.

***

Задача

Определить избыточное давление в забое скважины глубиной h = 85 м, которая заполнена глинистым раствором плотностью ρ = 1250 кг/м3.

Правильное решение:

Избыточное давление – это давление, которое оказывает столб жидкости на единицу площади на данной глубине без учета внешнего давления (атмосферы) на поверхности жидкости, и определяется, как произведение удельной плотности жидкости на высоту столба (глубины погружения).
Удельная плотность жидкости определяется, как произведение абсолютной плотности на ускорение свободного падения.

Тогда избыточное давление в скважине исходя из условий задачи можно записать так:

pизб = γh = ρgh = 1250×9,81×85 = 1040000 Па ≈ 1 МПа.

Ответ: избыточное давление в забое скважины составляет примерно 1 МПа.

***

Задача

Водолазы при подъеме затонувшего судна работали в море на глубине h = 50 м.
Определите давление воды на этой глубине и силу давления на скафандр водолаза, если площадь поверхности S скафандра равна 2,5 м2.
примеры решения задач по гидравлике Атмосферное давление считать равным p0 = 1,013×105 Па, плотность воды ρ = 1000 кг/м3.

Правильное решение:

Давление воды на глубине 50 м складывается из атмосферного давления p0 и избыточного давления, обусловленного столбом воды высотой 50 м:

p = p0 + ρgh = 1,013×105 + 1000×9,81×50 = 5,918×105 Па.

Сила давления воды на скафандр водолаза равна произведению площади скафандра на избыточное давление (внутри скафандра давление равно атмосферному, поэтому p0 не учитывается) и определяется по формуле:

F = ρgh×S = 1000×9,81×50×2,5 = 1226250 Н ≈ 1226 кН.

Ответ: давление воды на глубине 50 м равно 591 МПа, а сила давления на скафандр равна 1226 кН.

***

Задача

После сжатия воды в цилиндре под поршнем давление в ней увеличилось на 3 кПа.
Необходимо определить конечный объем V2 воды в цилиндре, если ее первоначальный объем составлял V1 = 2,55 л.
Коэффициент объемного сжатия воды βV = 4,75 • 10-10 Па-1.

Правильное решение:

Приведем исходные данные задачи к системе единиц СИ: V1 = 2,55л = 2,25х10-3 м3, Δp = 3 кПа = 3000 Па.

Тогда конечный объем воды в цилиндре будет равен сумме первоначального объема V1 и уменьшения объема ΔV в результате сжатия:

V2 = V1 + ΔV = (2,25×10-3) + (2,25×10-3×3000×4,75×10-10) = 2,25000320625×10-3 м3 = 2,2500032625 л.

Ответ: конечный объем воды 2,2500032625 л, т. е. изменился ничтожно мало.

***

Задачи по гидродинамике и определению параметров насосов

Скачать задачи по гидравлике с вариантами решений
(в формате Word, размер файла 324 кБ - 27 задач с решениями и вопросы по насосам)

Скачать теоретические вопросы к экзаменационным билетам по дисциплине "Основы гидравлики и теплотехники"
(в формате Word, размер файла 68 кБ)