Основы гидравлики





Решение задач по гидравлике и теплотехнике



На этой странице приведены примеры решения задач по гидравлике и теплотехнике с использованием закономерностей изменения давления жидкости, нагреваемой в герметичном сосуде, а также с использованием закона Ньютона о внутреннем трении в слоях жидкости.

***

Задача
Автоклав объемом V0 = 25,0 литров наполнен жидкостью и закрыт герметически.
Коэффициент температурного расширения жидкости α = 1220×106 1/˚С, ее модуль упругости Е = 2,25×109 Па.
Определить повышение давления ∆p в автоклаве при увеличении температуры жидкости на величину ∆Т = 10,5 ˚С.
Объемной деформацией автоклава пренебречь.

Решение:

Изменение объема ∆V жидкости при изменении ее температуры характеризуется коэффициентом температурного расширения α, при этом конечный объем V, который заняла бы жидкость, имеющая первоначальный объем V0 в свободном состоянии, при изменении температуры на ∆Т может быть определен по формуле:

V = V0(1 + α×∆Т) = 0,025(1 +1220×10-6×10,5) ≈0,0254756 (м3).

Т. е., если бы жидкость не была помещена в герметически закрытый автоклав, то ее объем увеличился бы на величину, пропорциональную коэффициенту объемного расширения:

∆V = V – V00,0004756 м3 ≈ (0,4756 л).

Поскольку в нашем случае жидкость помещена в автоклав, то увеличение ее объема невозможно, поэтому при повышении температуры жидкости в герметичном сосуде будет нарастать давление, величину которого можно определить, используя формулу для определения коэффициента объемного сжатия βv (коэффициента сжимаемости). Использование этого коэффициента при расчетах позволяет учитывать сжимаемость жидкости.

Сжимаемость (объемная сжимаемость, объемная упругость) – это способность жидкости изменять объем при сжатии, т. е. под действием на нее давления. Объемная сжимаемость показывает, на какую величину изменится первоначальный объем жидкости при изменении оказываемого на нее давления на 1 Па.
Коэффициентом сжимаемости (объемного сжатия) βv называется отношение относительного изменения объема жидкости ΔV/V к изменению давления Δp в автоклаве:

βv = (ΔV/V)/Δp = (V - V0)/V×Δp,

где
V – объем жидкости после нагрева;
V0 – начальный объем жидкости (объем автоклава).

Величину, обратную объемной сжимаемости, называют модулем объемного сжатия или модулем упругости Е (Па):

Е = 1/βv

Следует учитывать, что объемная сжимаемость не является постоянной характеристикой, она зависит от температуры жидкости и оказываемого на нее давления. Однако при давлениях, наиболее часто применяемых на практике в механизмах и устройствах, объемная сжимаемость жидкостей очень мала, и в обычных гидравлических расчетах ей пренебрегают, учитывая лишь в особых случаях, например, при расчетах некоторых гидроприводов, гидроавтоматики и явлениях гидроудара.

Исходя из приведенных выше формул, учитывающих расчетный температурный прирост объема жидкости и связанное с этим повышение давления в автоклаве, можно записать:

βv = 1/Е = (ΔV/V)/Δp = [V0 - V0(1 + α×∆Т) / V0(1 + α×∆Т)]/∆p = [1 - 1/(1 + α×∆Т)]/∆p,

откуда получаем:

∆p = Е[1 - 1/(1 + α×∆Т].

Анализ полученной формулы позволяет сделать вывод, что изменение давления жидкости, нагреваемой в герметичном сосуде, не зависит от объема этого сосуда (в нашем случае – автоклава).
Подставив в полученную формулу исходные данные задачи, получим прирост давления жидкости в автоклаве:

∆p = Е[1 - 1/(1 + α×∆Т] = 2,25×109(1 – 1/(1 + 1220×10-6×10,5) = 27,63×106 Па = 27,63 МПа.

Ответ:

Повышение давления ∆p в автоклаве при нагреве находящейся в нем жидкости на 10,5 ˚С составит 27,63 МПа.

***



Задача

Определить скорость v равномерного скольжения прямоугольной пластины (a × b × c) по наклонной плоскости под углом α = 12˚, если между пластиной и плоскостью находится слой масла М-4 толщиной δ = 0,25 мм.
Температура масла 40 ˚С, плотность материала пластины ρ = 560 кг/м3.
Размеры пластины: a = 550 мм; b = 450 мм; c = 10 мм.

Физические свойства масла М-4(справочная информация):

  • плотность при Т = 50 ˚С   –   850 кг/м3 (принимаем для расчетов эту величину);
  • кинематическая вязкость v при Т = 20 ˚С   –   0,17 Ст , при Т = 40 ˚С   –   0,11 Ст (для расчета принимаем кинематическую вязкость при Т = 30˚С    -    v = 0,15 Ст.)

Решение:

Задача решается с использованием закона Ньютона для внутреннего трения жидкости и законов статики.

примеры решения задач по гидравлике с ответами

Поскольку скольжение пластины по наклонной плоскостью осуществляется с равномерной скоростью (v = const), можно сделать вывод, что движущие силы равны силам сопротивления, т. е. состояние пластины является равновесным.

Если не принимать во внимание силу сопротивления воздуха, то движение пластины осуществляется под воздействием горизонтальной составляющей силы тяжести Gг = G×sinα и силы трения Fтр со стороны слоя жидкости между пластиной и наклонной плоскостью, следовательно, можно записать:

G×sinα = Fтр        (1).

Силу тяжести, действующую на пластину, можно определить, вычислив ее массу, зная габаритные размеры и плотность:

G = а×б×с×ρ×g = 0,55×0,45×0,01×560×9,81 ≈ 6,945 (Н).

Теперь, используя формулу (1), можно определить силу трения слоя жидкости:

Fтр = G×sinα = 6,945×0,208 = 1,444 (Н).

В соответствии с законом Ньютона для внутреннего трения жидкости:

Fтр = ηvS/δ          (2),

где
η – динамическая вязкость жидкости; η = v×ρ, Ст;
v – скорость движения жидкости на расстоянии δ от неподвижной плоскости (т. е. искомая скорость), м/с;
S = а×б - площадь поверхности пластины, м2.

Из формулы (2) получаем:

v = (Fтр×δ)/(η×S) = (Fтр×δ)/(v×ρ×a×b) = (1,444×0,25×10-3)/(0,15×850×0,55×0,45) ≈ 0,033×10-3 м/с ≈ 0,33 мм/с.

Ответ:

Искомая скорость скольжения пластины по наклонной плоскости v0,33 мм/с.

Примечание: цифровые значения расчетов могут не соответствовать действительным, поскольку пример приведен для уяснения логической последовательности решения задачи.

***

Пример расчета высоты всасывания насоса