Инженерная графика




Пересечение прямой линии с поверхностями тел



Форма деталей и изделий, входящих в состав каких-либо технических конструкций, зачастую представляют собой сочетание различных геометрических тел или плоскостей, пересекающихся определенным образом.
построение точек пересечения линии с поверхностью При выполнении чертежей таких деталей, имеющих сложную геометрическую форму, необходимо уметь строить линии взаимного пересечения поверхностей различных геометрических тел, либо линии пересечения геометрических тел с плоскостями.

Для того чтобы научиться правильно выполнять такие построения, необходимо в первую очередь усвоить способы нахождения проекций точек пересечения произвольной прямой с поверхностью любого геометрического тела – шара, конуса, цилиндра, пирамиды, многогранника и т. п.

Очевидно, что если прямая линия пересекает геометрическое тело (шар, конус, пирамиду, призму и т. п.), то получаются две точки, одновременно принадлежащие и прямой, и геометрическому телу - точки их взаимного пересечения. Поскольку обе точки располагаются на поверхности геометрического тела – одна на «входе» прямой в это тело, другая – на «выходе», то такие точки называются точками входа и выхода.

***

Метод вспомогательных секущих плоскостей

Для нахождения точек входа и выхода применяют метод вспомогательных секущих плоскостей. Построения выполняются в следующем порядке.

Через данную прямую проводят вспомогательную плоскость (обычно проецирующую).
Например, на рис. 1, а, где изображено пересечение прямой АВ с поверхностью пирамиды, через прямую проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость Р.
Затем находят линию пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью данного геометрического тела (линии КС и ЕD). На пересечении полученных линий с заданной прямой находят искомые точки (точки N и M).

построение точек пересечения линии с поверхностью геометрического тела

На комплексном чертеже точки входа и выхода определяют следующим образом (рис. 1, б). Горизонтальные проекции kc и ed прямых КС и ED совпадают с горизонтальным следом плоскости РН. Фронтальные проекции точек k', c', e' и d' определяют, пользуясь вертикальными линиями связи, проведенными из точек k, c, e и d до пересечения с фронтальными проекциями основания пирамиды. Соединяют точки k' c c' и e' c d' прямыми. На пересечении фронтальных проекций найденных прямых с проекцией a'b' данной прямой получают фронтальные проекции n' и m' искомых точек входа и выхода. Проведя через них вертикальные линии связи, находят горизонтальные проекции n и m этих точек.

В некоторых случаях можно обойтись без применения вспомогательной плоскости. Например, точки входа и выхода прямой АВ с поверхностью прямого кругового цилиндра (рис. 2, а) определяют следующим образом.

построение точек пересечения линии с поверхностью цилиндра

Горизонтальная проекция цилиндрической поверхности представляет собой окружность, поэтому горизонтальные проекции всех точек, расположенных на цилиндрической поверхности, в том числе и искомых точек входа (n’) и выхода (m’), будут расположены на этой окружности (рис. 2, а).

Фронтальная проекции n’ и m’ искомых точек определяют, проводя через точки n и m вертикальные линии связи до встречи данной фронтальной проекцией прямой АВ.

На рис. 2, б, показано построение точек входа и выхода прямой АВ и поверхности прямого кругового конуса. Через прямую АВ проводят вспомогательную плоскость Р, проходящую через вершину конуса S. Плоскость Р пересечет конус по образующим SH3 и SH4.




На комплексном чертеже (рис. 2, в) изображение плоскости Р строят следующим образом.
На прямой АВ берут произвольную точку К и соединяют ее с вершиной S конуса прямой линией. Две пересекающиеся прямые АВ и SK определяют плоскость Р.

Чтобы найти точки входа и выхода, необходимо построить горизонтальные проекции образующих SH3 и SH4. Для этого продолжим s'k' и a'b' до пересечения с осью x в точках h'2 и h’1.
Опустим линию связи из точки k' до пересечения с ab, полученную точку k соединим с вершиной s. Продлим горизонтальную проекцию прямой SK до пересечения с линией связи, опущенной из точки h'2, получим точку h2. Из точки h'1 проведем линию связи до пересечения с продолжением прямой ab, получим точку h1. Через следы h1 и h2 пройдет горизонтальный след плоскости Р.
построение точек пересечения линии с поверхностью сферы Точки h1 и h2 соединим прямой и получим горизонтальный след РН плоскости Р.

Основание конуса является горизонтальным следом конической поверхности. Поэтому, определив точки пересечения этого следа со следом РН плоскости Р, можно найти и те две образующие, по которым коническая поверхность пересекается вспомогательной плоскостью Р.

На комплексном чертеже горизонтальная проекция основания конуса (окружность) пересекается со следом РН в точках h3 и h4. Эти точки соединяют с вершиной конуса S и получают следы sh3 и sh4 образующих SH3 и SH4.

На пересечении найденных образующих с данной прямой АВ находят искомые точки M и N – точки выхода и выхода прямой АВ с конической поверхностью.

Горизонтальные проекции точек m и n находят на пересечении горизонтальных проекций образующих sh3 и sh4 с горизонтальной проекцией прямой ab.
Через точки m и n проводят вертикальные линии связи до пересечения a'b' и находят фронтальные проекции m' и n' точек входа и выхода.

Точки входа и выхода прямой АВ с поверхностью сферы (рис. 3) находят, проведя через прямую АВ вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость Р.
Вспомогательная плоскость Р пересекает сферу по окружности, которая проецируется на плоскость Н в виде эллипса, что затрудняет построение. Поэтому в данном случае необходимо применить способ перемены плоскостей проекций.
Новую плоскость проекций выбирают так, чтобы вспомогательная плоскость Р была ей параллельна, т. е. следует провести новую ось проекций x1 так, чтобы она была параллельна фронтальной проекции a'b' прямой АВ (для упрощения построений на рис. 3 ось x1 проведена через проекцию a'b').

Затем необходимо построить новую горизонтальную проекцию a1b1 прямой АВ и новую горизонтальную проекцию окружности диаметра D, по которой плоскость Р пересекает сферу. На пересечении новых горизонтальных проекций двух искомых точек m1 и n1. Обратным построением определяем фронтальные m’ и n’ проекции и горизонтальные m и n проекции точек входа и выхода.

***

Взаимное пересечение поверхностей геометрических тел