Техническая механика





Решение задач по динамике



Примеры решения задач по динамике и кинетостатике

Как и в предыдущей статье, на этой странице приведены основные принципы решения задач технической механики на примере простейших заданий, в которых необходимо определить какие-либо силовые факторы, скорость, ускорение и т. п.
Динамика является разделом технической механики, изучающим силовое взаимодействие между телами и результаты этого взаимодействия - ускорением, скоростью и перемещением тел в пространстве.

***

Задача

Определить силу тяги на крюке трактора, если ускорение, с которым трактор ведет прицеп, а = 0,2 м/с2.
Масса прицепа m = 0,5 тонн, сопротивление движению F = 1,5 кН.

Решение.
Задача решается с применением метода кинетостатики (принципа Даламбера).
Реально на прицеп действует сила сопротивления движению (трение качения, трение в подшипниках колес и т.п.), которая зависит от массы прицепа, коэффициента трения и конструктивных особенностей ходовой части прицепа, а также сила тяги со стороны трактора.
Даламбер предложил для условного уравновешивания системы сил ввести понятие силы инерции, которая всегда направлена в сторону, противоположную ускорению прицепа. Все эти силы создают уравновешенную систему, т. е. сумма всех сил в каждый момент времени равна нулю.
Исходя из этого, можно составить уравнение равновесия и определить силу тяги на крюке трактора:

F + FИН – FТ = 0,

где: F – сила сопротивления движению (задана); FИН = ma = 500 кг× 0,2 м/с2 = 100 Н = 0,1 кН – сила инерции; FТ – сила на крюке трактора (которую нужно определить).

FТ = F + FИН = 1,5 кН +0,1 кН = 1,6 кН.

Задача решена.

***

Задача

Определить силу тяготения двух соприкасающихся медных шаров радиусом R = 1 м каждый.

решение задач динамики

Решение.
Решение задачи основывается на законе всемирного тяготения, согласно которому все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

F = γ (m1×m2)/r2,

где: F – сила притяжения между шарами, m1 и m2 – масса шаров (очевидно, что они равны между собой), r – расстояние между центрами масс шаров (в данном случае оно равно 2R – двум радиусам шаров), γ — гравитационная постоянная = 6,67×10-11м3/(кг • сек2).
Массы шаров можно найти, подсчитав их объем (объем шара V = 4/3 πR3) и умножив на удельную плотность меди ρ = 8,93 г/см3 = 8930 кг/м3.
Тогда получим:

F = γ (m1×m2)/r2 = 6,67×10-11× (8930×4/3×3,14 ×13)2/(2×1)2 ≈ 0,0231 Н.

Задача решена.

***



Задача

Определить ускорение свободного падения тел на Луне.
Принять радиус Луны R = 1740 км и массу ее М = 7,33×1022 кг.

Решение.
Задача решается с применением закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона, согласно которым:

F =γ (M×m)/R2   и   F = m×a,

где: F – сила притяжения между Луной и любым телом на ее поверхности, М – масса Луны, m – масса любого тела на поверхности Луны, а – ускорение свободного падения на Луне, R – радиус Луны, γ — гравитационная постоянная = 6,67×10-11 м3/(кг • сек2).
Приравниваем уравнения, и получим:

(M×m)/R2= m×a    (m в обеих частях сокращается).

Откуда:

а = γ М/R2 = 6,67×10-11×7,33×1022 / 1740 0002 = 1,61 м/с2

Задача решена.

***

Задача

К одному концу веревки, перекинутой через неподвижный блок, привязан груз массой m = 20 кг.
С каким ускорением движется груз, если к другому концу веревки приложена сила FТ = 220 Н?
Трение не учитывать.

Решение.
Задача может быть решена с использованием методов кинетостатики (принцип Даламбера).
На груз действуют три силы – сила тяжести, сила тяги, приложенная к концу веревки, и сила инерции. Все эти три силы условно уравновешивают друг друга в каждый данный момент времени.
В виде уравнения это утверждение выглядит так:

FТ + FИН – G = 0,

где: FТ – сила тяги на конце веревки (задана); FИН = ma – сила инерции (здесь а – искомое ускорение груза); G= mg = 20×9,81 = 196,2 Н – сила тяжести.
Подставив все эти значения в формулу, выразим а и определим его:

a = (FТ – mg)/m = (220 – 196,2)/20 = 1,19 м/с2

Задача решена.

***

Задача

Определить скорость вагона массой m = 25 тонн к началу торможения, если он остановился за время t = 2 минуты под действием средней силы торможения F = 4 кН.

Решение.
Задача на уравнение ускоренного (в данном случае – замедленного) прямолинейного движения. Для решения используется формула, определяющая зависимость между конечной, начальной скоростью, ускорением и промежутком времени:

v = v0 – a×t,

где v – конечная скорость вагона (после остановки равна нулю); v0 – начальная скорость вагона (искомая), а – ускорение (замедление) вагона в результате торможения силой F (а определяем из второго закона Ньютона:
а =F/m = 4000/25000 = 0,16 м/с2), t – время (в секундах) до полной остановки вагона (t = 120 сек).

Выражаем из уравнения скорость v0 = a×t, подставляем значения и подсчитываем:

v0 = 0,16 × 120 = 19,2 м/с

Задача решена.

***

Сопротивление материалов