Техническая механика





Сопротивление материалов

Решение задач на растяжение и сжатие



Расчеты на прочность при растяжении и сжатии

В результате проведения механических испытаний устанавливают предельные напряжения, при которых происходит нарушение работы или разрушение деталей конструкции.
Предельным напряжением при статической нагрузке для пластичных материалов является предел текучести, для хрупких - предел прочности.
Для обеспечения прочности деталей необходимо, чтобы возникающие в них в процессе эксплуатации наибольшие напряжения были меньше предельных.

Отношение предельного напряжения к напряжению, возникающему в процессе работы детали, называют коэффициентом запаса прочности и обозначают буквой s:

s = σпред / σ,

где σ = N / А – реальное напряжение, возникающее в элементе конструкции.

Недостаточный коэффициент запаса прочности может привести к потере работоспособности конструкции, а избыточный (слишком высокий) - к перерасходу материала и утяжелению конструкции. Минимально необходимый коэффициент запаса прочности называют допускаемым, и обозначают [s].
Отношение предельного напряжения к допускаемому запасу прочности называют допускаемым напряжением, и обозначают [σ]:

[σ] = σпред / [s].

Условие прочности в деталях и конструкциях заключается в том, что наибольшее возникающее в ней напряжение (рабочее напряжение) не должно превышать допускаемого:

σmax ≤ [σ], или в другом виде: s ≥ [s].

Если допускаемые напряжения при растяжении и сжатии различны, их обозначают р] ис].

Расчетная формула при растяжении и сжатии имеет вид:

σ = N / А ≤ [σ]

и читается следующим образом: нормальное напряжение в опасном сечении, вычисленное по формуле σ = N /А, не должно превышать допустимое.

На практике расчеты на прочность проводят для решения задач:

- проектный расчет, при котором определяются минимальные размеры опасного сечения;
- проверочный расчет, при котором определяется рабочее напряжение и сравнивается с предельно допустимым;
-определение допускаемой нагрузки при заданных размерах опасного сечения.

***

Растяжение под действием собственного веса

Если ось бруса вертикальна, то его собственный вес вызывает деформацию растяжения или сжатия.
решение задач по сопромату Рассмотрим брус постоянного сечения весом G, длиной l, закрепленный верхним концом и нагруженный только собственным весом G (рис.1).
Для определения напряжений в поперечном сечении на переменном расстоянии z от нижнего конца применим метод сечений.
Рассмотрим равновесие нижней части бруса и составим уравнение равновесия:

Σ Z = 0; Nz - Gz = 0, откуда:

Nz = Gz = γ А z,

где γ - удельный вес материала бруса, А – площадь его поперечного сечения, z - длина части бруса от свободного конца до рассматриваемого сечения.

Напряжения, возникающие в сечениях бруса, нагруженного собственным весом, определяются по формуле:

σz = Nz / А = γ А z / А = γ z,

т. е. для нагруженного собственным весом бруса нормальное напряжение не зависит от площади поперечного сечения. Очевидно, что опасное сечение будет находиться в заделке:

σmax = γ l.

Эпюра распределения напряжений вдоль оси бруса представляет собой треугольник.
Если требуется определить максимальную длину бруса, нагруженного собственным весом, используют расчет по предельному допустимому напряжению в сечении:

lпр = [σ] / γ.

***



Статически неопределимые задачи

Иногда в практике расчета конструкций требуется определить неизвестные силовые факторы (например, реакции связей или внутренние силы), при этом количество неизвестных силовых факторов превышает количество возможных уравнений равновесия для данной конструкции, и расчет произвести рассмотренными ранее способами не представляется возможным.

Задачи на расчет конструкций, в которых внутренние силовые факторы не могут быть определены с помощью одних лишь уравнений равновесия статики, называют статически неопределимыми. Подобные задачи нередко встречаются при расчете конструкций, подверженных температурным деформациям.
Для решения таких задач помимо уравнений равновесия составляют уравнение перемещений или деформаций.

Рассмотрим невесомый стержень постоянного сечения площадью А, длиной l, жестко защемленный по концам (см. рис. 2).
статически неопределимые задачи При нагревании в стержне возникают температурные напряжения сжатия.
Попробуем определить эти напряжения.

Составим для стержня уравнение равновесия:

Σ Z = 0; RС - RВ = 0,

откуда следует, что реакции RС и RВ равны между собой, а применив метод сечений установим, что продольная сила N в сечениях стержня равна неизвестным реакциям:

N = RС = RВ.

Составим дополнительное уравнение, для чего мысленно отбросим правую заделку и заменим ее реакцией RВ, тогда дополнительное уравнение деформации будет иметь вид:

Δlt = ΔlСВ

т. е. температурное удлинение стержня равно его укорочению под действием реакции RB, так как связи предполагаются абсолютно жесткими.

Температурное удлинение стержня определяется по формуле: Δlt = αtl, где α - коэффициент линейного расширения стержня.

Укорочение стержня под действием реакции: ΔlСВ = RB l / (EА).

Приравняв правые части равенств, получим:

αtl = RB l / (EА), откуда RB = αtEА.

Температурные напряжения в реальных конструкциях могут достигать значительных величин. Чтобы исключить их отрицательное влияние на прочность конструкций, прибегают к различным методам. Мосты, например, закрепляют лишь на одном конце (на одном берегу), а второй конец оставляют подвижным.
В длинных трубопроводах, подверженных температурным напряжениям, делают компенсирующие карманы, петли и т. д.

***

Материалы раздела "Растяжение и сжатие":

Срез




Правильные ответы на вопросы Теста № 6
№ вопроса
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Правильный вариант ответа
2
1
1
3
3
2
1
3
2
1