Техническая механика



Примеры решения задач по сопротивлению материалов




На этой странице приведен еще один пример решения задачи по Сопромату, где необходимо найти внутренние усилия, напряжения и линейные удлинения на участках и в сечениях бруса, нагруженного продольной силой и собственным весом.

Результаты расчетов оформлены эпюрами продольных сил, напряжений и удлинений бруса.

Студентам технических специальностей ВУЗов в качестве методической помощи предлагаются к скачиванию готовые варианты контрольных работ по сопромату (прикладной механике). Представленные задания и примеры их решения предназначены, в частности, для учащихся Алтайского Государственного технического университета.
Варианты контрольных работ можно скачать в формате Word для ознакомления с порядком решения заданий, или для распечатывания и защиты (при совпадении вариантов).

***

Расчет стержня


Условие задачи:

Стержень, жестко закрепленный одним концом, состоящий из трех участков длиной l1l3, и площадью А1А3, находится под действием собственного веса и силы F, приложенной на координате lF (см. рис. 1).
Материал стрежня – сталь Ст.3.

Требуется:

Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ и перемещений δ.

Исходные данные:
  • l1 = 1,1 м;
  • l2 = 1,0 м;
  • l3 = 0,9 м;
  • А1 = 40 см2;
  • А2 = 20 см2;
  • А3 = 25 см2;
  • F = 70 кН;
  • lF = l1 + l2;
  • Опора расположена вверху.
Справочная информация:

Удельный вес стали Ст.3:   γ = (77…79)×103 Н/м3.
Для расчетов принимаем удельный вес равным   γ = 78×103 Н/м3.
Модуль продольной упругости (модуль Юнга) для стали Ст.3:   Е = 2×1011 Н/м2.

Указания:

Собственный вес стержня можно представить в виде распределенной нагрузки q1 = γ×А1.
Ось z, направление силы F и нумерацию участков вести от опоры.

Решение задачи:

1. Вычерчиваем схему стержня в соответствии с исходными данными.

пример решения задачи по сопромату расчет стержня

2. Расчет ведем от свободного конца стержня, т. е. с III-го участка.
Рассекаем стержень на силовом участке и отбрасываем часть стержня, содержащую опору (верхнюю часть).
Составляем уравнения для нахождения продольной силы N, нормального напряжения σ и удлинения стержня ∆l на силовом участке III:

2.1. Поскольку сила F на участке III не действует, то продольная сила на этом участке представлена только весом стержня, который увеличивается по мере удаления от плоскости 3-3. При этом зависимость величины продольной силы F от координаты z3 будет прямо пропорциональной, поскольку изменяется только координата, а площадь сечения А3 и плотность стали γ остается неизменной по всему участку.
Уравнение для продольной силы на участке:

N = q3×z3 = γ×А1×z3,

где
q3 – вес стержня, представленный в виде распределенной нагрузки (Н/м);
z3 – координата рассматриваемого сечения стержня по оси z (м);
А3 – площадь сечения участка III (м2);
γ – удельный вес материала стержня (для стали Ст.3 - γ = 78×103 Н/м3).

Тогда в сечении 3-3 продольная сила будет равна нулю (т. к. и координата и вес равны нулю), а в сечении 2-2 (верхнем сечении участка III) продольная сила определится по формуле:

N3 = q3×z3 = l3× γ×А3 = 0,9×78×103×25×10-4 = 175,5 Н.

2.2. Нормальное напряжение на силовом участке III определяем, как отношение продольной силы к площади участка в каждом рассматриваемом сечении стержня:

σ3 = N33.

Тогда в сечении 3-3 нормальное напряжение будет равно нулю (т. к. продольная сила равна нулю), а в сечении 2-2 (со стороны участка III) определится по формуле:

σ3 = N33 = 175,5/25×10-4 =70222,2 Па   или   σ30,07 МПа.

2.3. Удлинение бруса на участке III определяем по закону Гука, с учетом изменяющегося по координате z веса стержня:

∆l3 = ∫[N3/(E×A3)]dz,

где Е – модуль продольной упругости стали;   Е = 2×1011 Н/м2.

Удлинение изменяется по линейной зависимости от нижнего сечения (3-3) до верхнего сечения (2-2) участка, при этом в сечении 3-3 оно будет равно нулю, поскольку продольная сила N3 в этом сечении равна нулю, а в сечении 2-2 удлинение будет равно:

∆l3 = ∫[N3/(E×A3)]dz = ∫[(А3×γ×z3)/(Е×А3)]dz = (γ×l32)/2E =

= 78×103×0,81)/(2×2×1011) ≈ 0,000000158 м или ∆l3 ≈ 0,000158 мм.




3. Проводим расчет продольных сил, нормальных напряжений и удлинений стержня на участках II и I, учитывая, что к сечению 2-2 участка II приложена продольная сила F, которая по отношению к участкам II и I является растягивающей (т. е. положительной).

3.1. Продольная сила на участках II и I будет равна:

В начале участка II:

N21 = F + N3 = 70000 + 175,5 = 70175,5 Н  или  N2170,175 кН.

В конце участка II и в начале участка I:

N22 = N11 = N21 + q2×z2 = N21 + l2× γ×А2 =

= 70175,5 + (1,0×78×103×20×10-4) =70331,5 Н  или  N22 = N1170,33 кН.

В конце участка I:

N12 = N11 + q1×z1 = F + l1× γ×А1 = 70331,5 + (1,1×78×103×40×10-4) =70674,7 Н  или  N1270,67 кН.

3.2. Нормальное напряжение на участках II и I:

В начале участка II: σ21 = N122 = 70175/20×10-4 = 35087500 Па  или  σ2135,09 МПа.

В конце участка II: σ22 = N222 = 70331,5 /20×10-4 = 35 165 750 Па  или  σ2235,16 МПа.

В начале участка I: σ11 = N111 = 70331,5 /40×10-4 = 17 582 875 Па  или  σ1117,58 МПа.

В конце участка I: σ12 = N121 = 70674,7 /40×10-4 = 17668675 Па  или  σ1217,7 МПа.

3.3. Удлинение стержня на участках II и I:

∆l2 = (γ×l22)/2E + (N×l2/E×A2) =

= 78×103×1)/(2×2×1011) + (70156×1/2×1011×20×10-4) ≈ 0,00017851 м  или  ∆l20,1785 мм.

∆l1 = (γ×l12)/2E + (N×l1/E×A1) =

= (78×103×1,21)/(2×2×1011) + (70343×1,1/2×1011×40×10-4) ≈ 0,0000991 м или ∆l10,0991 мм.

4. Определяем перемещения сечений стержня:

  • δ0-0 = 0 мм;
  • δ1-1 = ∆l1 = 0,0991 мм;
  • δ2-2 = ∆l1 + ∆l2 = 0,0991 + 0,1785 = 0,2776 мм;
  • δ3-3 = ∆l1 + ∆l2 + ∆l3 = 0,0991 + 0,1785 + 0,000158 = 0,2777 мм.

5. Результаты расчетов сводим в Таблицу 1, и строим эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений (см. рис. 1).

Таблица 1. Значения продольной силы, нормального напряжения и удлинения стержня по сечениям силовых участков.

Участок
Границы
участка
Продольная
сила,
N, кН
Нормальное напряжение,
σ, МПа
Перемещение
δ, мм
III
     начало
0
0
0,2777
     конец
0,1755
0,07
0,2776
II
     начало
70,175
35,09
0,2776
     конец
70,33
35,16
0,0991
I
     начало
70,33
17,58
0,0991
     конец
70,67
17,70
0

***

Пример расчета вала на скручивание

Контрольная по сопромату для ВУЗов