Техническая механика



Сопротивление материалов

Свойства касательных напряжений. Главные сечения



Закон парности касательных напряжений

Закон парности касательных напряжений формулируется так: касательные напряжения в двух взаимно перпендикулярных площадках, перпендикулярные их общему ребру, равны по модулю.

Внутри тела вблизи некоторой точки вырежем элементарный параллелепипед с размерами dx, dy, dz.

Пусть на верхней грани этого параллелепипеда действует касательное напряжение τ. Сила, действующая в этой грани равна dQ = τ dx dy (здесь произведение dx dy - площадь грани).

Так как параллелепипед находится внутри тела в равновесии, то сумма Σ X = 0, следовательно, на нижней грани параллелепипеда будет действовать такая же сила dQ, но направленная в противоположную сторону.

Пара сил (dQ, dQ) будет стремиться вращать параллелепипед против часовой стрелки. Но, поскольку параллелепипед находится в равновесии, значит Σ М = 0, следовательно пара сил (dQ, dQ) будет уравновешиваться какой-то другой парой сил с моментом, равным моменту первой пары.

Естественно считать, что вторая пара образуется касательными напряжениями τ1, действующими на боковых (правой и левой) гранях параллелепипеда, причем dQ1 = τ1 dy dz.

Следовательно, М (dQ, dQ) = М (dQ1, dQ1), или τ dx dy dz = τ1 dx dy dz, откуда τ = τ1.

Следует отметить, что парные касательные напряжения в двух взаимно перпендикулярных площадках сечения направлены либо к линии пересечения плоскостей сечений, либо от этой линии.

***

Напряжения в наклонных сечениях при растяжении. Главные напряжения

Через всякую точку деформированного тела можно провести бесчисленное множество различно ориентированных секущих плоскостей. Рассмотрим прямой брус постоянного поперечного сечения А, растягиваемый силами F (рис. 2а).
Рассечем брус плоскостью 1-1, проходящей через точку В и составляющий с поперечным сечением некоторый угол φ, отбросим верхнюю часть бруса и рассмотрим равновесие нижней.



Очевидно, что равнодействующая N внутренних сил, действующих в наклонном сечении, будет равна растягивающей силе F:

Напряжения в наклонных сечениях

N = F,

а напряжения рφ будут параллельны оси бруса (рис. 2б). Полагая, что напряжения рφ распределены по наклонному сечению равномерно, получим:

pφ = N / Аφ,

где Аφ - площадь наклонного сечения.

Нормальные напряжения σ в поперечном сечении будут равны: σ = N / А.

Так как Аφ = А / cosφ, то рφ = N /Аφ = N / (А / cosφ) = σ cosφ.

Разложим полное напряжение рφ в какой-либо точке наклонного сечения на нормальное σφ и касательное τφ напряжения (рис. 2в).

Тогда получим:

σφ = рφ cosφ = σ cos2φ;

τφ = рφ sinφ = σ sinφ cosφ = (σ / 2) sin2φ

Отсюда следует вывод: при растяжении бруса в наклонных сечениях возникают равномерно распределенные по сечению нормальные и касательные напряжения и соответствующие этим напряжениям деформации растяжения и сдвига.

Если рассмотреть частные случаи для наклонных сечений, можно установить, что нормальные напряжения достигают максимального значения в сечениях, перпендикулярных оси бруса, т. е. при φ = 0, (касательные напряжения при этом отсутствуют).
Касательные напряжения достигают максимального значения в сечении, наклоненном под углом φ = 45 град к оси бруса. При этом τmax = σmax = σ / 2.

В сечении, параллельном оси бруса (φ = 90 град) напряжения не возникают, что косвенно подтверждает гипотезу о не надавливании волокон.
Площадки, в которых касательные напряжения равны нулю называют главными площадками, в возникающие в них нормальные напряжения - главными напряжениями.
В общем случае в напряженной зоне элемента конструкции могут существовать три взаимно-перпендикулярные главные площадки, и в зависимости от числа таких площадок различают три основных вида напряженного состояния: линейное, плоское и объемное.

В случае плоского напряженного состояния, когда в окрестностях любой точки сечения присутствуют только касательные напряжения, имеет место деформация чистого сдвига.

***

Материалы раздела "Сопротивление материалов":