Техническая механика





Решение задач по технической механике



Примеры решения задач по теоретической механике

Принципы и способы решения задач теоретической механики рассмотрены на простейших примерах, где необходимо определить какие-либо силовые факторы, действующие на тело, скорость, ускорение, работу, мощность и другие физические величины. На основе результатов расчетов с использованием приемов теоретической механики приступают к решению задач методами сопротивления материалов, а затем переходят к расширенным практическим вопросам, которые ставит раздел "Детали машин".


Решение задачи с использованием метода кинетостатики

Определить силу натяжения в канате крановой установки, поднимающей груз G с ускорением а.

Исходные данные:

Масса груза m = 5 тонн;
Ускорение груза а = 2 м/сек2;
Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/сек2;
Силой сопротивления воздуха пренебречь.

примеры решения задач по технической механике

Решение:

Для решения задачи используем метод кинетостатики (принцип Д’Аламбера), который основывается на введении понятия силы инерции и приведении подвижной системы к состоянию условного равновесия. Это позволяет использовать для решения задач Кинематики способы и методы Статики.
Чтобы понять сущность этого принципа, представьте себе просмотр киносюжета, кадры которого сняты при малой скоростью съемки, и движение тел на экране словно состоит из отдельных прерывистых фрагментов (или - как передвигается робот - урывками). Т. е. движение тела рассматривается состоящим из отдельных крохотных моментов, и в каждый такой микромомент тело находится в состоянии равновесия под действием движущей силы и силы инерции, сопротивляющейся движению.
Следует отметить, что сила инерции – понятие условное. Тем не менее, инертность тел – явление известное всем, поскольку, например, тяжелый шар трудно сдвинуть с места, а когда он, все-таки, покатится, его трудно остановить.

Итак, для решения этой задачи следует рассмотреть условие равновесия груза, который поднимается с ускорением а под действием некоторой системы сил. Реально к грузу приложены две силы – сила натяжения каната, и сила тяжести груза. Очевидно, что эти силы не равны по величине, поскольку груз поднимается с ускорением, значит, сила натяжения в канате больше силы тяжести.

Введем в систему упомянутую выше силу инерции, которая условно уравнивает разницу между силой натяжения в канате и силой тяжести, тогда груз будет находиться в условном равновесии.

Составим уравнение этого равновесия: Fк – G – Fин = 0,
где: Fк – сила натяжения каната (тяга крановой установки), G – вес груза, Fин – сила инерции.

Очевидно, что условие равновесия будет соблюдаться, если искомая сила Fк будет равна сумме сил тяжести и инерции.

Силу тяжести G и силу инерции Fин можно вычислить, используя второй закон Ньютона, как произведение массы тела на ускорение, вызываемое этими силами:
G = mg, где m – масса тела в кг, g – ускорение свободного падения;
Fин = ma, тогда:

Fк = G + Fин = mg + ma = m(g + a) = 5000 × (10 + 2) = 60 000 Н = 60 кН.

Задача решена.

***

Решение задачи на на трение

Определить силу F, необходимую для равномерного перемещения бруса по горизонтальной шероховатой поверхности.

решение задач по теоретической механике

Исходные данные:

Коэффициент трения между брусом и поверхностью f = 0,6;
Масса бруса m = 12 кг;
Ускорение свободного падения g принять равным 10 м/сек2.

Решение:

Эта задача решается с использованием законов движения тел под действием сил трения скольжения.
Для того, чтобы тело равномерно перемещалось по поверхности без ускорения, сила трения должна быть равна силе тяги (т. е. искомой силе F):   F = Fтр.
Поскольку поверхность горизонтальная, сила трения равна весу тела, умноженному на коэффициент трения:

Fтр = fG,    где: G = mg - вес тела.

Тогда:

F = Fтр = fG = 0,6×12×10 = 72 Н.

Задача решена.

***

Решение задачи из раздела Статика

примеры решения задач по технической механикеНайти силу натяжения упругой нити, удерживающей груз в состоянии равновесия на идеально гладкой наклонной плоскости.

Исходные данные:


Вес груза G = 100 Н,
угол наклона поверхности указан на рисунке.

Решение:

Поскольку груз находится в равновесии, решение задачи возможно с применением методов Статики, т. е. с на основе анализа причин, по которым тело находится в неподвижном состоянии (в равновесии).
Итак, сначала необходимо определить – под влиянием каких сил груз находится в состоянии равновесия.
Кроме силы тяжести G, на груз наложены две связи, ограничивающие его перемещение: гибкая связь (упругая нить) и наклонная плоскость. Реакция гибкой связи Rн направлена вдоль линии этой связи (вдоль нити), а реакция плоскости Rп всегда перпендикулярна этой плоскости и приложена в точке касания телом плоскости (см. схему).

Задача может быть решена двумя методами.

Определив направление реакций, можно решить эту задачу графическим методом, построив силовой треугольник, который будет замкнутым, поскольку векторная сумма сил равна нулю (равновесие груза).

Для построения векторной цепочки (в нашем случае – треугольник) откладываем силу тяжести груза G в определенном масштабе (поскольку нам известны и направление, и величина этой силы).
примеры решения задач на тему Статики Для реакций мы знаем лишь их направление (величина сил неизвестна). От концов вектора силы G откладываем отрезки прямых, параллельные реакциям, и точка пересечения этих прямых позволит нам получить искомый треугольник сил. Теперь можно определить величину любой из реакций, измерив ее длину на чертеже линейкой и умножив на масштаб чертежа, который задает сила G. Порядок построений показан на рисунке а).

Аналитическим методом эта задача решается с помощью уравнений равновесия, исходя из условия, что сумма проекций всех сил на любую координатную ось равна нулю. Разумеется, необходимо выбрать удобную систему координат, тогда для решения задачи потребуется минимальное количество уравнений.
В нашем случае можно любую из координат расположить так, чтобы одна из неизвестных реакций была ей перпендикулярна, тогда проекция этой силы на данную координатную ось будет равна нулю.

Поскольку нам необходимо найти силу натяжения нити (реакция Rн), то расположим координатную ось y так, чтобы реакция плоскости (Rп) была ей перпендикулярна (рис. в). Тогда реактивная сила Rп проецируется в точку, т. е. в ноль, и для решения задачи потребуется лишь сумма проекций сил G и Rн на ось y:

ΣFy = 0    =>    Rн – G cos60˚ = 0, откуда найдем искомую реакцию Rн:

Rн = G cos60˚ = 100×0,5 = 50 Н.

Задача решена двумя методами.

***



Пример решения задачи из раздела Динамика

Какую работу W необходимо совершить, чтобы повалить кубический предмет на боковую грань?

примеры решения задач кинематики

Исходные данные:

Длина грани кубического предмета (ящика) a = 1 м;
Масса кубического предмета m = 100 кг;
Центр тяжести кубического предмета расположен в точке пересечения диагоналей;
Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/сек2

Решение:

Как известно, работа любой силы равна произведению модуля этой силы на величину перемещения тела, вызванного действием этой силы.
Искомая работа W равна работе по преодолению силы тяжести при подъеме центра масс ящика на высоту Δh, равную разности между половиной диагонали боковой грани ящика и половиной длины его стороны, т.е. – вся работа заключается в постановке ящика на ребро А.
Длину диагонали грани можно найти по теореме Пифагора, или с применением тригонометрических зависимостей.
Тогда:

W = mgΔh = mgа(√2 – 1)/2 = 100×10×1×(1,414 - 1)/2 ≈ 207 Дж

***

Пример решения задачи из раздела кинематика

Автомобиль движется между городами Барнаул и Камень-на-Оби с постоянной скоростью v = 60 км/час.
Определить частоту вращения n колес автомобиля и сколько оборотов nl сделает каждое колесо в течение поездки, если диаметр колеса d = 0,6 м (считать, что колеса автомобиля катятся без пробуксовки).
Расстояние между городами принять равным l = 180 км.

Решение:

Для определения числа оборотов каждого колеса по пути следования, надо всю длину маршрута (180 км = 180 000 м) разделить на длину окружности колеса (lк = πd), тогда:

nl = 180 000/πd ≈ 95541 оборотов.

Для определения частоты вращения колеса можно определить время в пути автомобиля между городами
(t = S/v = 3 часа, т. е. 180 минут) и, разделив количество оборотов nl, совершенных колесом в пути на это время, определить число оборотов n колеса за одну минуту.
Получим:

n = 95541/180 ≈ 530 об/мин.

Задача решена.

***

Пример решения задачи из Статики

Балка висит на гибких связях горизонтально, нагружена собственным весом G, силой F и находится в состоянии равновесия.
Определить реакцию гибкой связи
RА.

примеры решения задач Статики

Исходные данные:

Вес балки G = 1200 Н;
Сила F = 600 Н;
Расположение гибких связей и силовых факторов приведено на схеме.

Решение:

Из условия равновесия балки: сумма моментов всех приложенных к ней сил относительно любой точки балки равна нулю.
Поскольку по условию задания нас интересует лишь реакция RA, то уравнение моментов составляем относительно точки В (момент неизвестной силы RВ относительно этой точки равен нулю), при этом силы, стремящиеся повернуть балку вокруг точки В по часовой стрелке, мы считаем положительными, против часовой стрелки – отрицательными.
Тогда:

4RA – 2G – F = 0,     откуда:     RA = (2G + F)/4 = 750 Н.

Задача решена.

***

Решение задачи из раздела Динамика

Для изображенной на схеме передачи определить вращающий момент Т2 на ведомом валу.

Исходные данные:
примеры решения задач технической механики
Мощность на ведущем валу Р1 = 8 кВт;
Угловая скорость ведущего вала ω1 = 40 рад/сек;
Коэффициент полезного действия передачи η = 0,97;
Передаточное число передачи u = 4.

Решение:

Сначала определим мощность Р2 на ведомом валу редуктора, с учетом потерь (исходя из величины КПД):

Р2 = ηР1 = 0,97×8000 = 7760 Вт

Для определения мощности ведомого вала необходимо знать его угловую скорость ω2, которая определяется из соотношения u = ω12, где u = 4 - передаточное число передачи. Получаем: ω2 = ω1/u = 10 рад/сек.
Вращающий момент равен отношению мощности ведомого вала к его угловой скорости:

Т2 = Р22 = 7760/10 = 776 Нм

Задача решена.

***

Задача из раздела динамика

Лебедка состоит из цилиндрической передачи и барабана, к которому посредством троса прикреплен груз G. Определить требуемую мощность Рм электродвигателя лебедки, если скорость подъема груза должна составлять v = 4 м/сек.

примеры решения задач динамики

Исходные данные:

Вес груза G = 1000 Н;
Скорость подъема груза v = 4 м/сек;
КПД барабана лебедки ηб = 0,9;
КПД цилиндрической передачи ηц = 0,98;
Элементы конструкции приведены на схеме.

Решение:

Определим мощность на выходе из привода, необходимую для подъема груза с данной скоростью:

Р2 = Gv = 1000×4 = 4000 Вт.

Чтобы найти требуемую мощность электродвигателя для лебедки необходимо определить КПД всей передачи:
    ηп = ηб×ηц = 0,9×0,98 = 0,882.
Требуемая мощность электродвигателя:

Рм = Р2 / ηп = 4000/0,882 ≈ 4535 Вт.

Задача решена.

***

Пример расчета пространственной конструкции или рамы




Правильные ответы на вопросы тестов:
Тест №1    2-4-1-3-4
Тест №2    1-3-4-4-1
Тест №3    3-1-1-2-2
Тест №4    4-2-2-3-3
Тест №5    2-1-1-1-4
Тест №6    3-2-4-2-3
Тест №7    2-2-1-1-3
Тест №8    1-4-1-2-2
Тест №9    3-2-4-4-1
Тест №10    1-1-4-2-3