Техническая механика





Статика



Аксиомы статики

Как мы уже знаем, статика изучает условия, при которых тело или материальная точка находятся в равновесии.
При решении задач статики принимают без доказательств некоторые положения, подтвержденные опытным путем, которые называют аксиомами статики. Основные аксиомы статики были сформулированы английским ученым И. Ньютоном (1642-1727), и поэтому названы его именем.

Исаак Ньютон (Isaac Newton) - английский физик, математик, механик и астроном, один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда "Математические начала натуральной философии", в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики.
И. Ньютон заложил фундамент теории цвета и физической оптики, разработал дифференциальное и интегральное исчисления, создал многие другие математические и физические теории, не потерявшие актуальность и в настоящее время. Сложно переоценить вклад этого гения в развитие естественных наук.

Аксиома I (аксиома инерции, или первый закон Ньютона): всякое тело сохраняет свое состояние покоя или прямолинейного равномерного движения, пока какие-нибудь силы не выведут тело из этого состояния.
аксиомы статики Способность материальных тел сохранять движение при отсутствии действующих сил или постепенно изменять это движение, когда на тело начинают действовать силы, называют инертностью или инерцией. Инертность - одно из основных свойств материи. На основании этой аксиомы можно считать, что состояние равновесия - это такое состояние, когда тело находится в состоянии полного покоя или движется по инерции.

Аксиома II (аксиома взаимодействия или третий закон Ньютона): Силы взаимодействия между двумя телами всегда равны по модулю и направлены по соединяющей их прямой в противоположные стороны.
Часто употребляют упрощенную формулировку этого закона - действие всегда равно противодействию.

Из третьего закона Ньютона следует, что в природе все силы являются парными, поскольку одностороннего механического воздействия одного тела на другое не существует.

Совокупность сил, приложенных к данному телу (или системе тел) называется системой сил. Следует отметить, что силовое воздействие какого-либо тела на другое тело и вызванное этим противодействие не являются системой сил, поскольку приложены к разным телам.

Если какая-нибудь система сил обладает таким свойством, что после приложения к свободному телу она не изменяет его механическое состояние (покоя или движения), то такая система сил называется уравновешенной.

Аксиома III (условие равновесия двух сил): для равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием двух сил, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны по модулю и действовали по одной прямой в противоположные стороны.

Условие, сформулированное в этой аксиоме, является необходимым для равновесия двух сил. Это значит, что если система двух сил находится в равновесии, то эти силы должны быть равны по модулю и действовать по одной прямой в противоположные стороны.

Условие, сформулированное в этой аксиоме, является достаточным для равновесия двух сил. Это значит, что справедлива и обратная формулировка аксиомы: если две силы равны по модулю и действуют по одной прямой в противоположные стороны, то такая система сил обязательно находится в равновесии.



Аксиома IV: равновесие (как и любое другое механическое состояние) твердого тела не нарушится, если к нему приложить или от него удалить уравновешенную систему сил.

Из третьей и четвертой аксиом статики вытекает следствие: механическое состояние твердого тела не нарушится, если какую-либо из сил, воздействующих на него, перенести вдоль линии действия этой силы.
Это следствие легко доказывается, поскольку мы можем приложить вдоль линии действия любой силы (назовем ее исходной силой) две уравновешивающие друг друга силы, каждая из которых равна по модулю исходной силе. При этом механическое состояние тела не изменится. После этого мы можем отнять от тела уравновешенную систему сил, среди которых одна будет являться исходной силой, а вторая принадлежать введенной уравновешенной системе двух сил. При этом, опять же, механическое состояние тела не изменится, несмотря на то, что сила, оставшаяся на линии действия исходной силы, будет приложена уже к другой точке.
Прикладывая таким образом произвольное количество уравновешенных сил вдоль линии действия исходной силы, убедимся, что исходную силу можно перемещать в любую точку на линии ее действия, и механическое состояние тела при этом не изменится.

Следует отметить, что перенос силы вдоль линии ее действия можно осуществлять лишь в том случае, если тело рассматривается, как абсолютно твердое.

Две различные системы сил называют эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая механического состояния свободного твердого тела. Опять же - если рассматриваемое тело не является абсолютно твердым, то эквивалентные системы сил могут вызывать различную деформацию этого тела, что необходимо учитывать при расчетах.

Сила, эквивалентная данной системе сил, называется равнодействующей, а силы этой системы - составляющими этой равнодействующей.

аксиомы статики

Сила, которая уравновешивает данную систему сил, называется уравновешивающей для этой системы.

Очевидно, что равнодействующая и уравновешивающая силы одной и той же системы равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль одной прямой. Равнодействующая уравновешенной системы сил равна нулю, иначе говоря - уравновешенная система сила эквивалентна нулю.

Аксиома V (аксиома параллелограмма): равнодействующая двух сил, приложенных к телу в одной точке, равна по модулю и совпадает по направлению с диагональю параллелограмма, построенного на данных силах, и приложена в той же точке.

Построение диагонали параллелограмма, сторонами которого являются заданные векторы, называется векторным или геометрическим сложением. Таким образом, можно сказать, что равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, равна их векторной сумме и приложена в той же точке. Равнодействующую двух сил можно найти, построив вместо параллелограмма сил треугольник сил, при этом порядок сложения векторов на величину равнодействующей не влияет.

Модуль и направление равнодействующей двух сил можно найти и аналитическим способом, применив к треугольнику сил теоремы косинусов и синусов.

Можно рассмотреть частные случаи сложения двух сил, если угол между их векторами равен φ:

  • φ = 0˚, т. е. силы направлены вдоль одной прямой в одну сторону: равнодействующая этих сил будет равна их сумме.
  • φ = 180˚, т. е. силы направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны: равнодействующая этих сил будет равна их разности.
  • φ = 90˚, т. е. силы направлены под прямым углом друг к другу: равнодействующая может быть определена при помощи теоремы Пифагора.

***

Принцип отвердевания

Принцип отвердевания формулируется так: механическое состояние нетвердого тела не нарушится, если оно станет абсолютно твердым.
Приведем примеры, поясняющие данную аксиому. Если жидкость в сосуде находится в состоянии равновесия, то оно не нарушится и после замерзания жидкости.
Еще один пример: гибкая нить, находящаяся в равновесии под действием двух растягивающих сил останется в равновесии, если нить станет абсолютно твердой.

Обратная формулировка принципа отвердевания в общем случае несправедлива, т. е. если твердое тело находится в равновесии, то, превратившись в нетвердое, оно может выйти из состояния равновесия. Это означает, что условия равновесия твердого тела являются необходимыми, но не достаточными для равновесия нетвердого тела, и требуются дополнительные условия, учитывающие те или иные физические свойства тела или характер воспринимаемых телом нагрузок.
Так, например, при растяжении гибкой невесомой нити необходимо обеспечить условия равновесия двух сил, но нужно помнить, что нить может сопротивляться растяжению, но не может сопротивляться сжатию.

Связи и реакции связей

Теорема о равновесии плоской системы трех сил