Техническая механика





Центр тяжести



Центр параллельных сил

Центром параллельных сил называется такая точка на линии действия равнодействующей системы параллельных сил, через которую проходит равнодействующая и в том случае, если все силы системы повернуть вокруг их точек приложения на один и тот же угол, сохраняя параллельность сил.

центр тяжести и центр параллельных сил

Покажем существование центра параллельных сил на системе двух сил F1 и F2 (см. рисунок 1). На основании теоремы о сложении двух параллельных сил, направленных в одну сторону, определим равнодействующую этих сил и положение линии ее действия по формулам:

FΣ = F1 + F2;    F1/F2 = BC/AC.

Нетрудно увидеть, что точка С, лежащая на линии АВ, соединяющей точки приложения данных сил, является центром двух параллельных сил F1 и F2, так как при повороте их на один и тот же угол α отношение плеч ВС и СА не изменится, и равнодействующая также пройдет через точку С.

Если дана система параллельных сил, то равнодействующую этой системы можно найти, последовательно попарно складывая все силы. На линии действия равнодействующей системы параллельных сил также будет существовать точка, обладающая свойствами центра параллельных сил, т. е. если все силы системы вращать вокруг этой точки, равнодействующая этих сил все равно останется приложенной к этой точке.

Выведем формулы для определения координат центра системы n параллельных сил.

Пусть даны пространственная система n параллельных сил и равнодействующая этой системы. Выберем систему осей координат и обозначим координаты точки приложения сил данной системы и координаты точки приложения равнодействующей (см. рисунок 2).

определение центра тяжести

Запишем моменты сил данной системы относительно оси y. Для того, чтобы легче представить, чему равен момент силы относительно оси, следует мысленно перенести силу вдоль линии ее действия до положения, когда точка приложения силы окажется в плоскости координатных осей (см. рисунок 2, сила F1’):


Мy(F1) = F1x1
,
My(F2) = F2x2
,
................
................
My(Fn) = Fnxn
,
My(FΣ) = FΣxC
.

Применим теорему о моменте равнодействующей относительно оси. Тогда:

FΣxC = F1x1 + F2x2 + .... + Fnxn,    откуда

xC = (F1x1 + F2x2 + .... +Fnxn)/FΣ.

Записав моменты сил относительно оси x и вновь применив теорему о моменте равнодействующей, получим:

yC = (F1y1 + F2y2 + .... +Fnyn)/FΣ.

Для определения координаты zC повернем все силы системы вокруг их точек приложения в одну сторону так, чтобы силы стали параллельны оси y. При этом точка С не изменит своего положения, так как она является центром параллельных сил данной системы.

Запишем моменты всех сил относительно оси x и применим теорему о моменте равнодействующей, в результате получим:

zC = (F1z1 + F2z2 +....+Fnzn)/FΣ.

Равнодействующая системы параллельных сил равна их алгебраической сумме, т. е. FΣ = ΣFi.
Применив сокращенную формулу записи, получим формулы для определения координат центра параллельных сил в следующем виде:

xC = Σ(Fixi)/ΣFi;    yC = Σ(Fiyi)/ΣFi;    zC = Σ(Fizi)/ΣFi.

Заметим, что в полученных формулах силы и моменты сил берут со знаком согласно ранее установленным правилам (если вектор силы направлен по направлению координатной оси, сила считается положительной, и наоборот, а момент силы считается положительным, если его вращающее действие относительно точки направлено против часовой стрелки).

***



Определение положения центра тяжести

Уникальность центра системы параллельных сил заключается в том, что равнодействующая сил системы, приложенная в этом центре, не создает относительно него вращающего момента, поскольку плечо равнодействующей равно нулю. Полученные выше формулы для определения координат центра системы параллельных сил на практике чаще всего используют для нахождения центра тяжести различных тел и фигур.

Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести. Элементарной частицей тела называется такая малая частица, положение которой в пространстве определяется координатами одной точки.

Рассмотрим тело, состоящее из большого количества элементарных частиц. Силы тяжести каждой частицы, направленные к центру Земли, образуют систему сходящихся сил, но для тел, размеры которых ничтожно малы по сравнению с размерами нашей планеты, с достаточной степенью точности можно считать эти силы системой параллельных сил.

Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести всех элементарных частиц этого тела.
Очевидно, что силы тяжести частиц тела образуют относительно центра тяжести систему параллельных сил, равнодействующая которой не имеет вращающего действия. Это свойство равнодействующей, проходящей через центр тяжести тела, используют, например, для балансировки колес, валов, при расчетах конструкций на устойчивость и т. п.

Центр тяжести является геометрической точкой, которая может лежать вне тела (например, кольцо, изогнутое тело и т. п.). Центр тяжести будем обозначать точкой С.

Координаты центра тяжести тела находят по тем же формулам, что и координаты центра параллельных сил:

xC = Σ(Gixi)/ΣFi;     yC = Σ(Giyi)/ΣFi;     zC = Σ(Gizi)/ΣGi,

где Gi - сила тяжести каждой элементарной частицы тела; xi, yi, zi – координаты частицы; ΣGi – сила тяжести всего тела.

В случае однородных тел по таким же формулам можно определять координаты центра тяжести объемов, площадей и линий, представив Gi, как произведение удельной массы (удельной силы тяжести) тела на его объем:

Gi = γVi,    где γ – удельная сила тяжести (для однородного тела γ – величина постоянная). Если подставить эти зависимости в выведенные ранее формулы, и сократить на постоянный множитель γ, получим координаты центра тяжести для объема однородного тела:

определение центра тяжести

xC = Σ(Vixi)/ΣVi;     yC = Σ(Viyi)/ΣVi;     zC = Σ(Vizi)/ΣVi.

При помощи аналогичных преобразований можно вывести формулы для нахождения координат центра тяжести плоской фигуры (пластины), имеющей одинаковую толщину h по всей площади:
если Gi = γhAi, (здесь Аi – площадь элементарной площадки пластины), то

xC = Σ(Aixi)/ΣAi;     yC = Σ(Aiyi)/ΣAi;     zC = Σ(Aizi)/ΣAi.

Если тело, например, представляет собой однородную проволоку, постоянного поперечного сечения А (т. е. линию), то сила тяжести элементарной частицы, выраженная через длину li (после аналогичных математических преобразований) равна:

xC = Σ(lixi)/Σli;     yC = Σ(liyi)/Σli;     zC = Σ(lizi)/Σli.

***

Методы нахождения центра тяжести