Техническая механика





Центр тяжести



Методы нахождения центра тяжести

Наиболее часто для нахождения центра тяжести тела или фигуры применяют следующие методы:

  • метод симметрии;
  • метод разбиения;
  • метод отрицательных масс.

Рассмотрим приемы, применяемые в каждом из перечисленных методов.

***

Метод симметрии

Представим себе однородное тело, которое имеет плоскость симметрии. Выберем такую систему координат, чтобы оси x и z лежали в плоскости симметрии (см. рисунок 1).

методы нахождения центра тяжести

В этом случае каждой элементарной частице силой тяжести Gi с абсциссой yi = +a соответствует такая же элементарная частица с абсциссой yi = -a, тогда:

yC = Σ(Gixi)/ΣGi = 0.

Отсюда вывод: если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости.

Аналогично можно доказать и следующие положения:

  • Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела лежит на этой оси;
  • Если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести тела находится в точке их пересечения;
  • Центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.

***

Метод разбиения

Этот метод заключается в том, что тело разбивают на наименьшее число частей, силы тяжести и положение центров тяжести которых известны, после чего применяют приведенные ранее формулы для определения общего центра тяжести тела.

Допустим, что мы разбили тело силой тяжести G на три части G', G'', G''', абсциссы центров тяжести этих частей x'C, x''C, x'''C известны.
Формула для определения абсциссы центра тяжести всего тела:

xC = Σ(Gixi)/ΣGi.

Перепишем ее в следующем виде:

xCΣGi = Σ(Gixi)     или     GxC = Σ(Gixi).

Последнее равенство запишем для каждой из трех частей тела отдельно:

G'x'C = Σ(G'x'i),     G''x''C = Σ(G''ix''i),     G'''x'''C = Σ(G'''ix'''i).

Сложив левые и правые части этих трех равенств, получим:

G'x'C + G''x''C + G'''x'''C = Σ(G'ix'i) + Σ(G''x''i) + Σ(G'''ix'''i) = Σ(Gixi).

Но правая часть последнего равенства представляет собой произведение GxC, так как

GxC = Σ(Gixi),

Следовательно, xC = (G'x'C + G''x''C + G'''x'''C)/G, что и требовалось доказать.
Аналогично определяются координаты центра тяжести на координатных осях y и z:


yC = (G'y'C + G''y''C + G'''y'''C)/G,
zC = (G'z'C + G''z''C + G'''z'''C)/G
.

Полученные формулы аналогичны формулам для определения координат цента тяжести, выведенные выше. Поэтому в исходные формулы можно подставлять не силы тяжести элементарных частиц Gi, а силы тяжести конечных частей; под координатами xi, yi, zi понимают координаты центров тяжести частей, на которые разбито тело.

***

Метод отрицательных масс

Этот метод заключается в том, что тело, имеющее свободные полости, считают сплошным, а массу свободных полостей – отрицательной. Вид формул для определения координат центра тяжести тела при этом не меняется.

Таким образом, при определении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять метод разбиения, но считать массу полостей отрицательной.

***

Практические методы определения центра тяжести тел

На практике для определения центра тяжести плоских тел сложной формы часто применяют метод подвешивания, который заключается в том, что плоское тело подвешивают на нити за какую-нибудь точку. Прочерчивают вдоль нити линию, и тело подвешивают за другую точку, не находящуюся на полученной линии.
Затем вновь проводят линию вдоль нити.
Точка пересечения двух линий и будет являться центром тяжести плоского тела.

определение центра тяжести взвешиванием

Еще один способ определения центра тяжести, применяемый на практике, называется метод взвешивания. Этот метод часто применяется для определения центра тяжести крупных машин и изделий – автомобилей, самолетов, колесных тракторов и т. п., которые имеют сложную объемную форму и точечную опору на грунт.
Метод заключается в применении условий равновесия, исходя из того, что сумма моментов всех сил, действующих на неподвижное тело равна нулю.
Практически это осуществляется взвешиванием одной из опор машины (задние или передние колеса устанавливаются на весы), при этом показания весов, по сути, являются реакцией опоры, которая учитывается при составлении уравнения равновесия относительно второй точки опоры (находящейся вне весов).
По известной массе (соответственно – весу) тела, показанию весов в одной из точек опоры, и расстоянию между точками опоры можно определить расстояние от одной из точек опоры до плоскости, в которой расположен центр тяжести.
Чтобы найти подобным образом линию (ось), на которой расположен центр тяжести машины, необходимо произвести два взвешивания по принципу, изложенному выше для метода подвешивания (см. рис. 1а).

***



Положение центра тяжести некоторых фигур

Прямоугольник. Так как прямоугольник имеет две оси симметрии, то центр тяжести его площади находится в точке пересечения этих осей, иначе говоря, в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

положение центра тяжести треугольника и дуги

Треугольник. Пусть дан треугольник АBD (см. рисунок 2).
Разобьем его на элементарные (бесконечно узкие) полоски, параллельные стороне AD. Центр тяжести каждой полоски будет лежать на медиане Bd (т. е. в середине каждой полоски), следовательно, на этой медиане будет лежать и центр тяжести всей площади треугольника. Разбив треугольник на элементарные полоски, параллельные стороне AB, увидим, что искомый центр тяжести лежит и на медиане aD.
Проделав аналогичное действие с треугольником относительно стороны ВD, получим тот же результат – центр тяжести находится на соответствующей медиане.
Следовательно, центр тяжести всей площади треугольника лежит на точке пересечения его медиан, поскольку эта точка является единственной общей точкой для всех трех медиан данной геометрической фигуры.

Из геометрии известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в соотношении 1:2 от основания. Следовательно, центр тяжести треугольника расположен на расстоянии одной трети высоты от каждого основания.

Дуга окружности. Возьмем дугу окружности АВ радиусом R с центральным углом (см. рисунок 3). Систему координат выберем так, чтобы начало координат было в центре окружности, а ось x делила дугу пополам, тогда yC = 0 вследствие симметрии дуги относительно оси x. Определим координату центра тяжести xC.

Разобьем дугу АВ на элементарные части li, одна из которых изображена на рисунке. Тогда, согласно сделанным выше выводам,

xC =Σ(lixCi)/Σli.

Дугу li вследствие малости примем за отрезок прямой. Из подобия треугольника ODiCi и элементарного треугольника S (на рисунке заштрихован) получим:

Li/Δyi = R/xCi     или     lixi = RΔyi.

Тогда:

xC =Σ(lixCi)/Σli = Σ(RΔyi)/l = RΣΔyi/l = R×AB/l,

центр тяжести сектора окружности

поскольку RΣΔyi = AB, а Σli = l – длина дуги АВ. Но АВ = 2R sinα, а l = 2Rα, следовательно,

xC = (R sinα)/α.

При α = π/2 рад (полуокружность), xC = 2R/π.

Круговой сектор. Возьмем сектор радиусом R с центральным углом (см. рисунок 3а). Проведем оси координат, как показано на рисунке (ось x направлена вдоль оси симметрии сектора), тогда yC = 0.

Определим xC, для чего разобьем сектор на ряд элементарных секторов, каждый из которых из-за малости дуги li можно принять за равнобедренный треугольник с высотой R. Тогда центр тяжести каждого элементарного сектора будет находиться на дуге радиуса 2R/3 и задача определения центра тяжести сектора сводится к определению центра тяжести этой дуги.
Очевидно, что

xC = 2 R sinα/(3α).

При α = π/2 рад (полукруг): xC = 4R/(3π).

***

Пример решения задачи на определение центра тяжести

нахождение центра тяжести составной фигуры или сечения

Задача:
Определить положение центра тяжести сечения, составленного из двутавра № 22 и швеллера № 20, как показано на рисунке 4.

Решение.
Из курса инженерной графики известно, что номер проката соответствует наибольшему габаритному размеру его сечения, выраженного в сантиметрах.

Так как сечение, составленное из двутавра и швеллера, представляет собой фигуру, симметричную относительно оси y, то центр тяжести такого сечения лежит на этой оси, т. е. xC = 0.
По справочнику определим площади и координаты центров тяжести двутавра 1 и швеллера 2.

Для двутаврового сечения:  А1 = 15,2 см2;     y1 = 22/2 = 11 см.
Для швеллерного сечения:  А2 = 12 см2;     y2 = 22 + d – z0 = 22 + 0,32 – 1,25 = 21,07 см,
где d – толщина стенки швеллера; z0 – размер, определяющий положение центра тяжести швеллера.

Применим формулу для определения координаты центра тяжести всего сечения:

yC = Σ(Aiyi)/ΣAi,

тогда:

yC = (A1y1 +A2y2)/(A1 +A2) = (15,2×11 + 12×21,07)/(15,2 + 12) = 15,4 см.

Задача решена.

***

Кинематика точки