Техническая механика





Плоская система пар сил



Пара сил и момент пары

В предыдущей статье мы рассматривали сложение пары антипараллельных сил, не равных по модулю и пришли к выводу, что равнодействующая таких сил существует и ее величина равна алгебраической сумме сил; точка приложения равнодействующей пары антипараллельных сил находится в пропорциональной зависимости от соотношения между модулями сил пары.

Если пара антипараллельных сил состоит из одинаковых по модулю сил, то такая система сил называется парой сил или просто парой.
Понятие пары сил введено в механику в начале XIX века французским ученым Л. Пуансо (1777-1859), который разработал теорию пар.

Плоскость, в которой расположена пара, называется плоскостью действия пары. Расстояние между линиями действия сил, составляющих пару, называется плечом пары.
Эффект действия пары состоит в том, что она стремится вращать тело, к которому приложена. Ее вращающее действие определяется моментом пары.

Моментом пары называется произведение модуля одной из сил, составляющих пару, на плечо:

M(F1, F2) = F1h =F2h = m .

Момент пары и момент силы имеют одинаковую размерность - ньютон×метр (Нм).

Правило знаков для моментов пары.

Условимся считать момент пары положительным, если она стремится вращать свое плечо против часовой стрелки, и наоборот.

пара сил

Если сделать геометрические построения (см. рисунок 1), то можно сделать вывод, что момент пары численно равен удвоенной площади треугольника, у которого основанием является вектор одной из сил пары, а высотой – плечо пары (как известно, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту).
Очевидно, что перенос любой из сил пары вдоль линии ее действия не влияет на вращающее действие всей пары, т. е. не изменяет момент пары, поскольку и основание треугольника (модуль силы) и его высота (плечо пары) в этом случае не меняются (перенос сил, составляющих пару вдоль линий их действия приводит к образованию равновеликих треугольников).

***

Основные свойства пары сил

Основные свойства пары сил характеризуются следующими тремя теоремами.

Теорема I. Пара сил не имеет равнодействующей.

Дана пара сил (F1, F2) с плечом h. (см. рисунок ).
Ранее мы доказали, что равнодействующая пары антипараллельных сил может быть определена, как алгебраическая сумма сил, составляющих такую пару, т. е., с учетом направленности векторов сил в разные стороны: FΣ = |F1| - |F2|.
Применим это утверждение к случаю, когда силы равны между собой по модулю, и получим, что равнодействующая будет равна нулю: F1 – F2 = 0.
Из этого следует, что пара силы не имеет равнодействующей (или равнодействующая пары равна нулю).

Теорема II. Алгебраическая сума моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки плоскости действия пары есть величина постоянная, равная моменту пары.

свойства пары сил

Дана пара сил (F1, F2) с плечом h. (см. рисунок 2b).
Момент пары: m = F1h = F2h.

Выберем в плоскости действия пары произвольную точку А и примем ее за центр моментов:

MA(F1) = -F1a;        MA(F2) = F2(a+h).

Сложим правые и левые части этих равенств (не забываем, что |F1| = |F2|):

MA(F1) + MA(F2) = -F1а + F2(a+h) = -F1а + F2а + F2h = F2h = m .

Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что при любом центре моментов пара сил войдет в уравнение моментов с одним и тем же знаком и одной и той же величиной.

***

Теорема III. Алгебраическая сумма проекций сил пары на любую ось всегда равна нулю.

теорема о парах сил

Дана пара сил (F1, F2) и ось z, лежащая в плоскости действия пары (см. рисунок 3). Из равенства заштрихованных треугольников видно, что F1z = F2z, при этом проекция одной из сил положительная, проекция другой силы – отрицательная, следовательно, сумма этих проекций равна нулю.
Теорема доказана.

Из теорем I и III следует, что пара сил не может входить ни в уравнение сил, ни в уравнение проекций сил, поскольку ее нельзя заменить ни равнодействующей, ни проекцией силы.

***

Эквивалентные пары

Две пары называют эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая механического состояния свободного твердого тела.

Теорема об эквивалентных парах формулируется так: если моменты двух пар алгебраически равны, то эти пары эквивалентны.

эквивалентные пары сил

Пусть даны две пары (F1, F2) и (Q1, Q2), моменты которых алгебраически равны (см. рисунок 4), т. е.:

M(F1, F2) = M(Q1, Q2),    или    Fa = Qh.

Продолжим линии действия сил пары до их взаимного пересечения в точках А и В. На основании следствия из III и IV аксиом статики перенесем силы F и F1 вдоль линий их действия в точки А и В.
Соединим эти точки прямой линией и разложим силы F и F1 по направлению АВ и вдоль линий действия сил Q и Q1.
Из равенства треугольников Akd и Bmn вытекет, что T = T1 и S = S1.

Силы T и Т1 представляют собой уравновешенную систему, так как они равны по модулю и действуют по одной прямой в противоположные стороны. На основании аксиомы IV такую систему можно отбросить.

Силы S и S1 представляют собой пару сил с плечом b.
Таким образом, пара (F1, F2) ≡ паре (S1, S2).

Рассмотрим треугольники AmB и AnB.
Они имеют общее основание АВ, и высоты их равны, следовательно площади тоже будут равны.
Поскольку площадь треугольника AnB равна половине момента пары (F1, F2), а площадь треугольника AmB равна половине момента пары (S1, S2), то можно записать:

М(F, F1) = М(S, S1)    или    Fa = Sb.

По условиям теоремы Fa = Qb, следовательно Sb = Qb, отсюда S = Q, S1 = Q1.

Силы S и Q равны по модулю, действуют вдоль одной прямой в одном направлении, следовательно они эквивалентны друг другу; на этом же основании можно сделать вывод об эквивалентности сил S1 и Q1. Очевидно, что тогда пара (Q,O1) ≡ паре (S,S1).

Так как две пары порознь эквивалентны одной и той же третьей паре, то эти пары тоже будут эквивалентны между собой:

М(F, F1) = М(Q, Q1),    что и требовалось доказать.

Из доказательства теоремы об эквивалентных парах вытекает четыре следствия:

  • не изменяя механического состояния тела, пару можно переносить как угодно в плоскости ее действия;

  • не изменяя механического состояния тела, можно менять силы и плечо пары, но так, чтобы ее момент оставался неизменным;

  • чтобы задать пару, достаточно задать ее момент, поэтому иногда слово "пара" заменяют словом "момент";

  • условия равновесия плоской системы параллельных сил будут справедливы, если вместе с такой системой действуют и пары сил, так как их можно повернуть в плоскости действия и поставить силы пары параллельно другим силам системы.

***



Теорема о сложении пар

Теорема: Всякая плоская система пар эквивалентна одной результирующей паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар.

Пусть даны три пары с моментами m1, m2 и m3, действующие в одной плоскости (рис. ).
сложение пар сил На основании следствия из теоремы об эквивалентных парах преобразуем эти пары так, чтобы их плечи стали равными d, и перенесем к произвольно взятому на плоскости отрезку АВ длиной d.

Тогда вместо заданной системы пар получим новую систему, эквивалентную данной, причем моменты данных и новых пар будут равны, т. е.

m1 = -P1d ;    m2 = F1d ;    m3 = -Qd .

Сложив три силы в точке А, получим равнодействующую R1, модуль которой R1 = P1 + Q1 – F1.

Сложив три силы в точке В (рис. 4b) , получим равнодействующую R2, модуль которой R2 = P2 + Q2 – F2, причем очевидно, что силы R1 и R2 равны по модулю, параллельны и противоположно направлены.
Значит, система (R1, R2) представляет собой пару с плечом d, эквивалентную данной системе пар.

Момент этой результирующей пары:

m = -R1d = -( P1 + Q1 – F1)d = -P1d – Q1d + F1d,   или

m = m1 +m2 + m3.

Аналогичное доказательство можно привести для любой плоской системы пар, т. е. в общем виде можно записать:

m = Σmi,   что и требовалось доказать.

***

Условие равновесия плоской системы пар

Применяя доказанную ранее теорему о сложении пар к плоской системе пар, находящихся в равновесии, запишем:

m = Σmi = 0.

Следовательно, условие равновесия плоской системы пар в общем виде будет выглядеть так:

Σmi = 0,

а формулируется следующим образом: для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов данных пар равнялась нулю.

***

Опоры и опорные реакции балок

Опоры балок по их устройству могут быть разделены на три основных типа (см. рисунок 6): шарнирно-подвижная (опора А), шарнирно-неподвижная (опора В) и жесткая заделка (опора С). На приведенном рисунке показаны два способа условного изображения шарнирно-неподвижной опоры (опора А).

момент пары сил

Применим правило для определения направления реакций связей и определим, какое направление могут иметь реакции представленных опор в зависимости от ограничений, накладываемых на балку.

Шарнирно-подвижная опора допускает поворот вокруг оси шарнира и линейное перемещение параллельно опорной плоскости. Если пренебречь трением на опоре и в шарнире, то реакция такой связи будет направлена перпендикулярно опорной плоскости, и неизвестна только по модулю (одно неизвестное).

Шарнирно-неподвижная опора допускает только поворот вокруг оси шарнира, и не допускает никаких линейных перемещений. Реакция такой опоры будет направлена перпендикулярно оси шарнира; модуль и направление ее заранее не известны (два неизвестных).

Жесткая заделка (защемление) не допускает ни линейных перемещений, ни поворотов защемленного конца балки. Жесткую заделку заменяют реактивной силой, неизвестной по модулю и направлению, и реактивным моментом (три неизвестных).
Реактивную силу, неизвестную по направлению, раскладывают на две взаимно-перпендикулярные составляющие. Если при решении задачи реактивная сила или реактивный момент получаются отрицательными, то их действительное направление противоположно принятому.

Кроме перечисленных выше трех основных типов опор балок в конструкциях нередко балка свободно опирается на плоскость (поверхность) или ребро призмы (угол). В этих случаях направление реакций определяют, как для аналогичных типов связей, рассмотренных здесь.

***

Пример решения задачи по определению реакций опор балки

Пусть горизонтальная балка длиной l = 4 м закреплена на опорах, как показано на рисунке 7, и нагружена парой сил с моментом m = 420 Нм.
Не учитывая силу тяжести балки, определим реакции R опор А и В.

примеры решения задач статики

Решение.

Отбросим опоры, заменив их реакциями, и рассмотрим равновесие балки.
Так как пару сил можно уравновесить только парой, то реакции R опор А и В должны образовывать пару сил, причем реакция шарнирно подвижной опоры В перпендикулярна опорной плоскости.

Применим условие равновесия плоской системы пар и составим уравнение равновесия:

Σmi = 0; -m + Rh = 0,    где h = lcos30˚ .

Подставив известные значения, получим: R = m/h = m/( lcos30˚) = 420/(4×0,866) ≈ 120 Н.

Задача решена.

***

Пример решения задачи по определению реакции в жесткой заделке

Пусть консольная балка длиной l = 2 м нагружена на свободном конце силой F = 3000 Н     (рис. 8).
пример решение задачи на определение пары сил Не учитывая силу тяжести балки, определим реакцию заделки.

Решение.

Отбросим заделку, заменив ее реакциями, и рассмотрим равновесие балки.
Реакция заделки представляет собой реактивную силу R и реактивный момент m.
Так как реактивный момент m может быть уравновешен только парой сил, то нагрузка F и реакция R должны образовывать пару, следовательно:

R = F = 3000 Н .

Далее применим условие равновесия плоской системы пар и составим уравнение равновесия:
Σmi = 0; m – F1 – 0,    откуда получим:

m = Fl = 3000×2 = 6000 Нм.

Задача решена.

***

Плоская система произвольно расположенных сил