Техническая механика





Плоская система произвольно расположенных сил



Лемма о параллельном переносе силы

Лемма: механическое состояние твердого тела не нарушится, если данную силу перенести параллельно первоначальному положению в произвольную точку тела, добавив при этом пару, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Для доказательства данной леммы возьмем тело, находящееся под действием некоторой системы сил, в числе которых есть сила F, приложенная в точке А (см. рисунок 1).
теорема о параллельном переносе сил Выберем произвольную точку О, которую назовем центром приведения, и на основании аксиомы IV приложим в этой точке две равные силы F’ и F’’, параллельные данной силе F, причем

F’ = F’’ =F.

Систему сил (F,F’,F’’), эквивалентную силе F, представим как силу F’, перенесенную параллельно первоначальному положению в произвольно выбранный центр приведения О, и пару (F,F”), момент которой равен моменту данной силы относительно центра приведения О, являющегося новой точкой приложения силы F:

M(F,F”) = Fa = MO(F).

Лемма доказана.

Описанный выше перенос силы можно показать на примере.

Рассмотрим колесо А радиусом r, вращающееся на оси в подшипниках (см. рисунок 2). Пусть к ободу колеса по касательной приложена сила F (такую силу называют окружной).

лемма о переносе сил

Для определения действия силы F на колесо и подшипники применим доказанную лемму и перенесем эту силу параллельно самой себе на ось колеса. В результате получим силу F’ = F, вызывающую давление на подшипники, и пару сил (F,F”) с моментом, равным Fr, которая будет вращать колесо.

***

Приведение плоской системы произвольно расположенных сил к данному центру

Приведением системы сил называется замена ее другой системой, эквивалентной первой, но более простой.

Теорема: плоская система произвольно расположенных сил в общем случае эквивалентна одной силе, приложенной в центре приведения и одной паре сил.

Пусть дана плоская система n произвольно расположенных сил (F1,F2,F3....Fn). Перенесем параллельно все силы в произвольно выбранный в плоскости действия сил центр приведения О, добавив при этом n пар (см. рисунок 3). Моменты этих пар m1,m2,m3,....mn равны моментам данных сил относительно центра приведения О.

приведение плоской системы сил к данному центру

Вместо заданной системы n произвольно расположенных сил мы получили систему n сил, приложенных в центре приведения, равных данным силам по модулю и одинаковых с ними по направлению, и систему n присоединенных пар:
F1’ = F1;   F2’ = F2;   F3’ = F3,....Fn’ = Fn
m1 = MO(F1);   m2 = M(F2);   m3 = (F3),....mn = MO(Fn).

Эта новая система эквивалентна данной.

Плоская система сил, приложенных в одной точке, эквивалентна одной силе, которая равна векторной сумме этих сил и приложена в той же точке, следовательно:

F1’ + F2’ + F3’ +....+ Fn = F1 + F2 + F3 +....+ Fn = Fгл, или Fгл = ΣFi.

Эту силу назовем главным вектором данной системы.

Главный вектор плоской системы произвольно расположенных сил равен векторной сумме всех сил системы и приложен в центре приведения.

Графически главный вектор выражается замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на данных силах.
Аналитически модуль главного вектора можно вычислить по формуле:

Fгл = √[(ΣX)2 + (Y)2]    (здесь и далее √ - знак корня),

а направляющий косинус – по формуле cos (Fгл, x) = FглХ / Fгл.

Плоская система пар эквивалентна одной паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар, следовательно,

Мгл = m1 = m2 + m3 +....+ mn = MO(F1) + MO(F2) + MO(F3) +....+ MO(Fn), или

Мгл = ΣМO(Fi).

Эту пару с моментом Мгл назовем главным моментом заданной системы сил.

Главный момент плоской системы произвольно расположенных сил равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения.

Таким образом, всякая плоская система сил в общем случае эквивалентна системе, состоящей из силы и пары сил, следовательно, теорема доказана.

Не следует считать, что главный вектор и главный момент имеют чисто формальное значение, введенной для удобства доказательства, и что их можно найти только с помощью вычислений. Нередко отдельно действующие на тело силы определить трудно или даже невозможно, а главный вектор или главный момент этих сил найти сравнительно легко. Так, например, число точек контакта и модули сил трения между вращающимся валом и подшипником скольжения, как правило, неизвестны, но главный момент этих сил можно определить простым измерением.
Еще один пример: в характеристику электродвигателя входит не сила, с которой статор действует на ротор, а вращающий момент, являющийся, по сути, главным моментом этой силы.

***



Свойства главного вектора и главного момента

Свойства главного вектора и главного момента заключаются в следующем:

1. модуль и направление главного вектора данной системы не зависят от выбора центра приведения, так как при любом центре приведения силовой многоугольник, построенный на данных силах, будет один и тот же;

2. величина и знак главного момента в общем случае зависят от выбора центра приведения (кроме случая, рассмотренного далее, когда Fгл = 0, а Мгл ≠ 0), так как при перемене центра приведения изменяются плечи сил, а их модули остаются неизменными;

3. главный вектор и равнодействующая системы сил векторно равны, но в общем случае не эквивалентны. Пусть известны главный вектор Fгл и главный момент Мгл какой-либо плоской системы сил (рис.4а).
Определим равнодействующую этой системы.

Пользуясь известным свойством пары сил, преобразуем главный момент Мгл так, чтобы силы пары F и FΣ (рис. 4б) были равны по модулю и параллельны главному вектору Fгл:

главный вектор и главный момент

F = FΣ = Fгл;     Мгл = М(F, FΣ),

причем сила F приложена в точке О противоположно Fгл.
Далее систему (Fгл, F), как взаимно уравновешенную, отбросим:

(Fглгл) = (Fгл,F,FΣ) ≡ FΣ.

В результате получим одну силу FΣ, эквивалентную главному вектору и главному моменту, т. е. равнодействующую системы, причем FΣ = Fгл.

Модуль равнодействующей можно определить по формуле:

FΣ = √[(ΣX)2 + (Y)2] = Fгл,

а положение линии действия равнодействующей определяется плечом d по формуле:

d = Мгл / Fгл.

В результате можно считать установленным, что главный вектор и равнодействующая векторно равны, но не эквивалентны.

4. главный вектор и равнодействующая эквивалентны лишь в частном случае, когда главный момент системы равен нулю. Это возможно лишь в случае, когда центр приведения находится на линии действия равнодействующей. Из приведенного выше рисунка видно, что момент равнодействующей FΣ относительно центра приведения О равен моменту Мгл пары (FΣ,F), т.е. главному моменту данной системы:

МО(FΣ) = М(FΣ,F) = Мгл.

Так как Мгл = ΣМО(Fi), а за центр приведения можно взять любую точку плоскости действия сил данной системы, то всегда имеем:

М(FΣ) = ΣМ(Fi).

Полученная формула является математическим выражением теоремы о моменте равнодействующей.

Теорема: момент равнодействующей силы относительно какой-либо точки, расположенной в плоскости действия сил, равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Теорему о моменте равнодействующей впервые доказал французский ученый П. Вариньон (1654-1722), поэтому ее называют теоремой Вариньона.

Применим доказанную теорему для определения положения линии действия равнодействующей FΣ плоской системы n параллельных сил:

(F1 + F2 + F3 +....+ Fn) ≡ FΣ.

Выберем какую-либо точку О плоскости действия сил за центр моментов и согласно теореме Вариньона запишем:

ΣМO(Fi) = МO(FΣ) = FΣd,     где: d – плечо равнодействующей FΣ относительно точки О.

Из последнего равенства определяем плечо d:

d = ΣМO(Fi) / FΣ = ΣМO(Fi) / ΣFi, так как FΣ = ΣFi.

Чтобы установить, в какую сторону от точки О следует на перпендикуляре к линиям действия сил отложить плечо d, следует учесть направление вектора FΣ и знак ΣМO(Fi).

***

Различные случаи приведения плоской системы произвольно расположенных сил

На основании приведенных выше свойств главного вектора и главного момента можно выделить четыре возможных случая приведения плоской системы произвольно расположенных сил.

1. Fгл ≠ 0,    Мгл ≠ 0. В этом случае система сил эквивалентна равнодействующей, которая равна по модулю главному вектору, параллельна ему и направлена в ту же сторону, но по другой линии действия.
В рассматриваемом случае величина и знак главного момента не зависят от выбора центра приведения, также как модуль и направление главного вектора тоже не зависят от расположения центра приведения на плоскости действия системы сил.

2. Fгл ≠ 0,    Мгл = 0. В этом случае система сил эквивалентна равнодействующей, линия действия которой проходит через центр приведения и совпадает с главным вектором.
В рассматриваемом случае величина и знак главного момента не зависят от расположения центра приведения на линии действия равнодействующей системы сил, и в любой точке этой линии Мгл = 0.

3. Fгл = 0,    Мгл ≠ 0. В этом случае система эквивалентна паре сил, т. е. она обладает лишь вращающим действием.
В рассматриваемом случае величина и знак главного момента не зависят от центра приведения, ибо уравновешенная система сил не может быть эквивалентна разным парам.

4. Fгл = 0,    Мгл = 0. В этом случае система сил эквивалентна нулю, т. е. находится в равновесии.

***

Аналитическое условие равновесия плоской системы произвольно расположенных сил

Как известно, плоская система произвольно расположенных сил находится в равновесии, когда главный вектор и главный момент равны нулю:

Fгл = 0;    Мгл = 0.

Но Fгл = FΣ и равенство Fгл = 0 означает, что силовой многоугольник, построенный на силах данной системы, должен быть замкнут, следовательно, алгебраическая сумма проекций сил на каждую из двух осей координат x и y должна равняться нулю, т. е.:

ΣX = 0;     ΣY = 0.

Главный момент Мгл = ΣМО(Fi) и равенство Мгл = 0 означают, что алгебраическая сумма моментов сил данной системы относительно любого центра приведения равняется нулю, следовательно:

ΣМ(Fi) = 0.

условие равновесия системы сил

Итак, для равновесия плоской системы произвольно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на оси координат x и y равнялись нулю, и чтобы алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой точки плоскости также равнялась нулю.

Условие равновесия упрощенно запишем в виде равенств:

ΣX = 0;    ΣY = 0;    ΣM = 0.

Очевидно, что выведенные ранее условия равновесия системы сходящихся сил, системы непараллельных сил и системы пар являются частными случаями общего условия равновесия для плоской системы произвольно расположенных сил.

Следует отметить, что поскольку аналитические условия равновесия справедливы для любых прямоугольных осей координат, то в процессе решения задачи или при проверке правильности ее решения, оси координат можно изменять, т. е. одни уравнения проекций сил составлять для одной системы координат, а другие – для новой системы координат. Этот прием в некоторых случаях упрощает решение задачи или проверку правильности решения.

При решении задач статики аналитическим способом целесообразно составлять уравнения равновесия так, чтобы в каждом из них было как можно меньше неизвестных величин (в идеале – лишь одна неизвестная величина). Во многих случаях этого можно достигнуть рациональным выбором осей координат и центров моментов.

С примерами решения задач статики, основывающихся на условии равновесия плоской системы сил можно ознакомиться здесь.

***

Пространственная система сил