Техническая механика





Теоретическая механика



Теорема о равновесии плоской системы трех непараллельных сил

Теорему о равновесии плоской системы трех непараллельных сил можно сформулировать так: для равновесия плоской системы трех непараллельных сил необходимо, но недостаточно, чтобы линии действия этих сил пересекались в одной точке.
Попробуем доказать это утверждение, и объяснить, почему условие, изложенное в теореме не является достаточным для равновесия системы сил.

Пусть даны три силы P, Q и F лежащие в одной плоскости, причем линии действия сил P и Q пересекаются в некоторой точке А.
На основании следствия из III и IV аксиом статики перенесем силы P и Q вдоль линий их действия в точку А, и на основании аксиомы параллелограмма найдем равнодействующую этих сил FΣ.
В результате получим систему двух сил - FΣ и F, которая является эквивалентной исходной системе трех сил.
Но, согласно аксиоме III, равновесие возможно лишь в том случае, если силы FΣ и F лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны, из чего следует, что линия действия силы F, принадлежащей исходной системе трех сил, тоже должна проходить через точку А.
Теорема доказана.

Данная теорема указывает лишь на необходимое условие равновесия, которое является недостаточным, поскольку три силы могут сходиться в одной точке, но не быть в равновесии, если их векторная сумма не будет равна нулю.

Силы, линии действия которых пересекаются в одной точке, называют сходящимися.

***



Разложение силы на две составляющие

Разложить силу на составляющие - означает найти систему сил, эквивалентную данной силе. В общем случае задача разложения силы на две составляющие имеет бесконечное количество решений, поскольку сила - величина векторная.
разложение силы на составляющие Для того, чтобы задача имела определенное решение, необходимо задать два условия, например, направления или модули двух составляющих. Возможны четыре варианта разложения силы FΣ на две составляющие P и Q, приложенные в той же точке. Во всех случаях решение сводится к построению параллелограмма сил.

1. Известны направления двух составляющих P и Q (рисунок а).
В этом случае задаем направление сил P и Q из точки приложения силы FΣ, затем строим параллелограмм сил, принимая вектор силы FΣ за диагональ этого параллелограмма.

2. Известны модуль и направление одной из составляющих.
Решение задачи графическим методом, как и в первом случае, сводится к построению параллелограмма; при этом известны величина и направление одной из сторон и диагонали этого параллелограмма (рисунок b).

3. Известны модули двух составляющих P и Q (направление не известно).
Задача решается методом засечек, при этом циркулем из начала вектора силы FΣ проводятся дуги радиусом, равным модулю одной из составляющих (P или Q) по обе стороны вектора FΣ, затем из конца вектора FΣ проводятся дуги радиусом второй составляющей по обе стороны вектора FΣ. Точки пересечения дуг будут вершинами искомого параллелограмма сил.
Задача в данном случае может иметь:

  • два решения, если P + Q > FΣ и P - Q < FΣ;
  • одно решение, если P + Q=FΣ и P - Q = FΣ;
  • не иметь решений, если P + Q < FΣ и P - Q > FΣ.

4. Известны направление составляющей Q и модуль второй составляющей P. Задача решается методом засечек. При этом из начала вектора FΣ проводится линия по направлению известного вектора составляющей силы, а затем через конец вектора FΣ проводится линия, параллельная первой линии. Далее из начала вектора FΣ на второй линии делаются засечки дугой, радиус которой равен известному модулю второй составляющей.
Задача может иметь:

  • одно решение, если расстояние между построенными параллельными линиями равно длине известного модуля составляющей силы (в этом случае угол между векторами P и Q равен 90 град);
  • два решения, если расстояние между параллельными линиями меньше длины известного модуля составляющей силы;
  • не иметь решений, если расстояние между параллельными линиями больше, чем известный модуль составляющей силы.

***

Связи и реакции связей

Распределенные нагрузки