Техническая механика





Плоскопараллельное движение



Понятие о плоскопараллельном движении

Плоскопараллельным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных какой-то одной плоскости, называемой основной плоскостью.

Примерами плоскопараллельного движения могут служить движение колеса на прямолинейном участке пути, движение шатуна кривошипно-ползунного механизма.

Из определения плоскопараллельного движения следует, что любая прямая АВ, проведенная в теле перпендикулярно основной плоскости, движется поступательно. Для определения движения тела на каждой прямой, перпендикулярной основной плоскости, достаточно знать движение только одной точки.
Взяв эти точки в одной плоскости, параллельной основной, получим сечение S, движение которого будет определять движение всего тела.

Но плоское движение сечения S вполне может быть определено движением любых двух точек, лежащих в этом сечении. На основании этого можно утверждать, что плоскопараллельное движение тела может быть определено движением отрезка прямой в плоскости, параллельной основной.

Плоскопараллельное движение изучается двумя методами: методом мгновенных центров скоростей и методом разложения плоскопараллельного движения на простейшие движения - поступательное и вращательное.

***

Метод мгновенных центров скоростей

В основе этого метода лежит следующая теорема: всякое плоскопараллельное перемещение твердого тела может быть получено одним вращением около оси, перпендикулярной основной плоскости.

Пусть отрезок, определяющий плоскопараллельное движение тела, за конечный промежуток времени переместился из положения АВ в положение А1В1 (см. рис. 3).

метод мгновенных центров скоростей

Соединим точки А и А1, В и В1 прямыми линиями и из середин полученных отрезков (точек М и N) восстановим перпендикуляры до их взаимного пересечения в точке О. Эту точку соединим с концами отрезков АВ и А1ВВ1 прямыми линиями, и получим при этом два равных (конгруэнтных) треугольника, имеющих общую вершину О:

Δ АОВ = Δ А1ОВ1.

Треугольник АОВ совмещается с треугольником А1ОВ1 путем поворота на угол φ вокруг точки О, называемой центром конечного поворота.
Точка О есть след оси конечного поворота, перпендикулярной основной плоскости. Таким образом, отрезок АВ, определяющий плоскопараллельное движение тела, перемещается в любое новое положение путем одного вращения вокруг оси конечного поворота.

Теорема доказана.

Приведенное доказательство будет справедливо и в том случае, если перемещение тела произойдет за бесконечно малый промежуток времени Δt.
В пределе при Δt стремящемся к нулю, вращение будет происходить вокруг мгновенной оси, след которой в плоскости фигуры называется мгновенным центром скоростей.

Очевидно, что скорость точки, являющейся в данный момент мгновенным центром скоростей, равна нулю. Угловая скорость ω, с которой происходит мгновенное вращение, называется мгновенной угловой скоростью.

Точка неподвижной плоскости, совпадающая в данный момент времени с мгновенным центром скоростей плоской фигуры, называется мгновенным центром вращения.

Если прямая АВ движется параллельно самой себе, то можно полагать, что тело вращается вокруг оси, удаленной в бесконечность, иначе говоря, поступательное движение можно рассматривать, как вращательное по кругу бесконечно большого радиуса.

Таким образом, плоскопараллельное движение тела может рассматриваться, как непрерывная цепь последовательных мгновенных поворотов вокруг мгновенных осей вращения.

Следует отметить, что методом мгновенных центров скоростей можно пользоваться только для определения скоростей точке плоской фигуры, но не при определении траекторий и ускорений этих точек.

***



Свойства мгновенного центра скоростей

Рассматривая в каждый момент времени сложное плоскопараллельное движение как простейшее - вращательное, можно для вычисления скоростей точек твердого тела применять формулы вращательного движения.

Из закона распределения скоростей точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, можно установить следующие свойства мгновенного центра скоростей:

  • Скорость мгновенного центра скоростей равна нулю;
  • Мгновенный центр скоростей лежит на перпендикуляре, восстановленном из точки к направлению ее скорости;
  • Скорость точки равна произведению мгновенной угловой скорости на расстояние точки от мгновенного центра скоростей (см. рис. 4): vА = ωОА.
свойства мгновенного центра скоростей

На основании этих свойств можно установить следующие способы определения положения мгновенного центра скоростей плоской фигуры, определяющей плоскопараллельное движение:

1. Если известны мгновенная угловая скорость ω и скорость точки А плоской фигуры, то мгновенный центр скоростей будет находиться на перпендикуляре, восстановленном из точки А к вектору скорости vА на расстоянии ОА = vА (см. рис 4).

2. Если известны направления скоростей двух точек А и В плоской фигуры (рис. 5а), то мгновенный центр скоростей будет находиться на точке О пересечения двух перпендикуляров, восстановленных из точек А и В к направлениям их скоростей, причем

vА/vВ = (ωОА)/(ωОВ) = ОА/ОВ,

т. е. скорости точек плоской фигуры прямо пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей.

3. Если известно, что скорости двух точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, направлены в одну сторону, перпендикулярны отрезку АВ и по модулю не равны (рис. 5б), то мгновенный центр скоростей О будет находиться в точке пересечения прямой, соединяющей начала векторов vА и vВ с прямой, соединяющей концы этих векторов.
Если векторы скоростей А и В равны между собой, то мгновенный центр скоростей в данный момент времени находится в бесконечности, мгновенная угловая скорость ω равна нулю, скорости всех точек плоской фигуры будут одинаковы и движение будет мгновенно поступательным.

методы определения мгновенного центра скоростей

4. Если скорости двух точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, направлены в противоположные стороны и перпендикулярны отрезку АВ (см. рис. 5в), то мгновенный центр скоростей О будет находиться в точке пересечения отрезка АВ с прямой, соединяющей концы векторов vА и vВ.

5. Если плоская фигура катится без скольжения по неподвижной кривой, мгновенный центр скоростей О будет находиться в точке соприкосновения фигуры с кривой, так как скорость этой точки фигуры относительно кривой равна нулю (скольжение отсутствует).

На рис. 6 приведены положения мгновенного центра скоростей (МЦС) и графики скоростей точек вертикального диаметра колеса при различных случаях его качения по прямолинейному рельсу (скольжение, качение, буксование и т. п.).

способы нахождения мгновенного центра скоростей

***

Разложение плоскопараллельного движения на вращательное и поступательное

В основе этого метода лежит следующая теорема: всякое плоскопараллельное перемещение твердого тела может быть получено с помощью одного вращательного и одного поступательного движения.

Пусть за время Δt отрезок АВ, определяющий плоскопараллельное движение тела, переместился в положение А1В1. Предположим, что отрезок АВ вначале перемещался только поступательно, причем все его точки двигались одинаково, как, например, точка А. Таким образом, отрезок переместился в положение А1В2, после чего его можно переместить в положение А1В1 посредством только вращательного движения вокруг точки А1.
Очевидно, что сложное плоскопараллельное движение состоит из двух простейших движений – поступательного и вращательного, причем можно считать, что эти движения совершаются одновременно.

Установим зависимость между векторами скоростей точек А и В. Для этого соединим прямыми точки А, А1 и В, В1, в результате чего получим следующую зависимость между векторами перемещений точки В:

ВВ1 = ВВ2 + В2В1.

Так как ВВ2 = АА1, то можно записать, что ВВ1 = АА1 + В2В1.
Разделим все члены равенства на Δt и перейдем к пределу при Δt стремящемся к нулю:

lim (ВВ1)/Δt = lim (АА)/Δt + lim (В2В1)/Δt,   откуда получим:   vВ = vА + vВА,

где vА и vВ – векторы абсолютных скоростей соответствующих точек, vВА – вектор скорости точки В в относительном вращательном движении отрезка АВ вокруг точки А, направленный перпендикулярно отрезку АВ.

Таким образом, плоскопараллельное движение тела может осуществляться путем одновременно происходящих вращательного и поступательного движений; поступательное движение можно считать переносным, а вращательное – относительным.
Вектор абсолютной скорости произвольной точки В равен вектору абсолютной скорости любой другой точки А плюс вектор скорости точки В в относительном вращательном движении отрезка АВ вокруг точки А.

Точку, вокруг которой происходит относительное вращательное движение, называют полюсом.

Если за полюс вместо точки А принять точку В, то, рассуждая аналогично, получим:

vА = vВ + vВА.

Если сравнить это векторное равенство с предыдущим, становится очевидным, что векторы относительных скоростей vВА и vАВ по модулю равны между собой, т. е. vВА = vАВ.

разложение плоскопараллельного движения на вращательное и поступательное

Из рис. 7 видно, что направление относительного вращения и угол поворота отрезка АВ за какой-то промежуток времени не зависит от выбора полюса, т. е. φВА = φАВ.

Продифференцировав это равенство по времени, получим:

ВА/dt = dφАВ/dt    или    ωВА= ωАВ.

Следовательно, относительная угловая скорость от выбора полюса не зависит. Аналогичный вывод можно сделать и об относительном угловом ускорении:

dωBA/dt = dωAB/dt    или    αВА= αАВ.

На основании вышеизложенного можно сделать вывод, что при разложении плоскопараллельного движения на поступательное и вращательное поступательная составляющая движения в общем случае зависит от выбора полюса, а вращательная составляющая от выбора полюса не зависит.

Так как за полюс может быть выбрана любая точка плоскости, в том числе и мгновенный центр скоростей, то при разложении плоскопараллельного движения на поступательное и вращательное угловая скорость относительного вращательного движения всегда равна абсолютной угловой скорости.

Если векторное равенство vА = vВ + vАВ спроецировать на направление прямой АВ, то получим, что проекция vА равна проекции vВ, так как проекция vАВ равна нулю. Следовательно, при плоскопараллельном движении проекции скоростей двух точек плоской фигуры на направление прямой, соединяющей эти точки, равны между собой.

***

Динамамика материальной точки