Техническая механика





Простейшие движения твердого тела



Поступательное движение

Различают два вида простейшего движения твердого тела: поступательное движение и вращение вокруг неподвижной оси.

Движение тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной своему первоначальному положению, называется поступательным.
Так, например, поршень двигателя относительно других деталей и узлов (гильзы, блока, головки цилиндров и т. п.) совершает поступательное движение.

Закономерности перемещения всех точек тела при поступательном движении можно описать движением любой из его точек. Этот вывод опирается на утверждения теоремы о поступательном движении твердого тела.

Теорема: при поступательном движении все точки твердого тела имеют одинаковые траектории, скорости и ускорения.

Пусть за время Δt тело, двигаясь поступательно, переместилось из положения АВ в положение А1В1, причем произвольная точка А прошла путь ΔsА, а другая произвольная точка В прошла путь ΔsВ по некоторым траекториям (дугам) АА1 и ВВ1 (см. рис. 1).
поступательное и вращательное движение тела Требуется доказать, что траектории, скорости и ускорения точек А и В при поступательном перемещении были одинаковы.

Соединим точки А и А1, В и В1 хордами. Так как АВ = А1В1 (поскольку тело является твердым, и расстояние между его частями и точками неизменно), а АВ || А1В1 (по определению поступательного движения, любая прямая внутри тела перемещается параллельно своему первоначальному положению), то фигура АВВ1А1 – параллелограмм. Следовательно, хорда АА1 равна и параллельна хорде ВВ1.

Возьмем промежуточное положение прямой А2В2 и соединим концы этого отрезка с точками А и А1, В и В1, как показано на рисунке.
Аналогично предыдущему можно доказать, что вписанные ломаные линии АА2А1 и ВВ2В1 имеют попарно равные и параллельные стороны.
Если бесконечное число раз удваивать число сторон этих ломаных линий, то в пределе они дадут дуги ΔsА и ΔsВ. Но так как эти ломаные линии всегда одинаковы, то они одинаковы и в пределе, следовательно, траектории произвольных точек А и В будут одинаковы.
Поскольку точки А и В выбраны произвольно, то, следовательно, траектории всех точек тела будут одинаковы.

Докажем теперь, что скорости и ускорения произвольных точек А и В, а, следовательно, и всех других точек тела в каждый данный момент времени будут равны.

Так как векторы перемещений точек А и В равны между собой (АА1 = ВВ1), то, разделив обе части этого векторного равенства на Δt и перейдя к пределу при Δt стремящемся к нулю, получим:

lim АА1/Δt = lim ВВ1/Δt при Δt→0.

Поскольку эти пределы являются векторами скоростей точек, следовательно vА = vВ.

Перенесем векторы скоростей vА1 и vВ1 в точки А и В и найдем векторы приращения скоростей ΔvА и ΔvВ. Рассмотрим треугольники АМN и ВМ1N1. Эти треугольники конгруэнтны (равны), и их равные стороны попарно параллельны, следовательно, ΔvА = ΔvВ.

Разделим обе части этого векторного равенства на Δt и перейдя к пределу при Δt стремящемся к нулю, получим:

lim ΔvА /Δt = lim ΔvВ /Δt    при    Δt→0    или    аА = аВ.

Теорема доказана.

Таким образом, поступательное движение твердого тела вполне определяется движением одной из его точек и, следовательно, все формулы кинематики точки применимы для тела, движущегося поступательно.

***

Вращение вокруг неподвижной оси

Движение, при котором по крайней мере две точки твердого тела или неизменяемой системы остаются неподвижными, называется вращательным; прямая линия, соединяющая эти две точки, называется осью вращения.
В определении вращательного движения говорится о неизменяемой системе, потому что ось вращения может лежать и вне тела.

Вращательное движение в технике встречается очень часто. Во многих машинах имеются звенья, совершающие вращательное движение, например, валы, шкивы, зубчатые колеса, ступицы и т. п.
Следует отметить, что понятие вращательного движения может относиться лишь к телу, но не к отдельной точке, и, например, движение точки по окружности является не вращательным, а криволинейным движением.

Рассмотрим диск, вращающийся вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа (см. рис. 2). Точка О – след этой оси.
Вращательное движение тела Очевидно, что траектории точек вращающегося тела есть окружности различных радиусов, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, с центрами, лежащими на этой оси.

Пусть за время Δt диск повернулся на угол φ. При этом точка А прошла путь sА, а точка В – путь sВ.
Так как точки, находящиеся на различном расстоянии от оси вращения, за один и тот же промежуток времени проходят разные пути, то, следовательно, они имеют разные скорости и ускорения. Отсюда следует, что линейное перемещение (путь), линейные скорость и ускорение точек не могут характеризовать вращательное движение тела в целом.
Вращательное движение тела можно характеризовать углом φ, на который повернулось тело за данный промежуток времени. Этот угол называется угловым перемещением тела.

Угловое перемещение тела выражается в радианах (рад) или оборотах (об); в последнем случае угловое перемещение обозначают N. Для установлении зависимости между этими величинами составим пропорцию:

1 об = 2π рад,     N об = φ рад,   откуда   φ = 2πN рад,
где N – число оборотов тела.

Угловое перемещение есть функция времени, следовательно, закон вращательного движения в общем виде можно записать так: φ = f(t).

Из рис. 2 видно, что путь любой точки вращающегося тела может быть определен из уравнения:

s = rφ,     где r – расстояние от точки до оси вращения.

Скорость любой точки тела определяется так:

v = ds/dt = d(rφ)/dt = r(dφ/dt)

(r вынесли за знак производной, так как для данной точки твердого тела эта величина постоянна).

Выражение dφ/dt называется угловой скоростью и обозначается ω.
Угловая скорость есть кинематическая мера движения вращающегося тела, характеризующая быстроту его углового перемещения: ω = dφ/dt.

Угловая скорость равна первой производной углового перемещения по времени. Единица угловой скорости – радиан в секунду (рад/с).

Формула для определения скорости любой точки вращающегося тела имеет следующий вид:

v = ωr.

Скорость точки в каждый момент времени прямо пропорциональна ее расстоянию от оси вращения, следовательно, график скоростей точек, например, диаметра В1В2, будет представлять собой два треугольника. Очевидно, что вектор скорости точки вращающегося тела направлен перпендикулярно радиусу, соединяющему эту точку с осью вращения.
Если точка лежит на поверхности вращающегося тела, то ее скорость называют окружной.

В технике часто скорость вращения выражают в оборотах в минуту, обозначают буквой n и называют частотой вращения. Зависимость между угловой скоростью и частотой вращения выглядит так:

ω = πn/30 рад/с, где n = частота вращения тела (об/мин).

***



Различные случаи вращательного движения

Равномерное вращательное движение

Если тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью, то движение называется равномерным.
При этом:

ω = const;    φ = ωt.

Касательное, нормальное и полное ускорения любой точки равномерно вращающегося тела определяют так:

аτ = 0;    ап = ω2r;    а = ап = ω2r.

***

Неравномерное вращательное движение

Если угловая скорость вращающегося тела с течением времени меняется, то движение называется неравномерным.
В самом общем виде формулы неравномерного вращательного движения выглядят так:

φ = f(t);     ω= Δφ/Δt.

Касательное движение любой точки неравномерно вращающегося тела определяют следующим образом:

aτ = dv/dt = d(ωr)/dt = r(dω/dt).

Выражение dω/dt обозначают α (альфа) и называют угловым ускорением.
Угловое ускорение есть кинематическая мера изменения угловой скорости вращающегося тела:

α = dω/t = d2φ/dt2.

поступательное и вращательное движение тела

Угловое ускорение равно первой производной угловой скорости или второй производной углового перемещения по времени. Единица углового ускорения – радиан на секунду в квадрате (рад/с2).

Формулу для определения касательного ускорения любой точки неравномерно вращающегося тела можно записать в таком виде: аτ = αr.

Нормальное ускорение определяется по такой же формуле, как и в случае равномерного вращения:

ап = ω2r.

Полное ускорение:

а = √[(аτ2) + (ап2)] = √[(αr)2 + (ω2r)2],    откуда    а = r √(α2 + ω4).

Направляющий тангенс полного ускорения можно определить так:

tg(а, ап) = аτп = αr/(ω2r),   откуда   tg(a,aп) = α/ω2.

Если направление углового ускорения совпадает с направлением вращения, то вращательное движение является ускоренным, и наоборот.

***

Равнопеременное вращательное движение

Если тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением, то движение называют равнопеременным.
Формулы для этого вида вращательного движения могут быть выведены при помощи интегрального исчисления.

Итак, если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси равнопеременно, то:

α = dω/dt = const,   откуда   dω = αdt.

Интегрируя это равенство по t, получим:

∫dω = ∫αdt,    где ω изменяется от 0 (начальная угловая скорость) до ω,   t изменяется от 0 до t.

Получим окончательную формулу угловой скорости в следующем виде:

ω = ω0 + αt.

Далее выведем формулу углового перемещения. Так как при любом вращательном движении

dφ/dt = ω,    то    dφ = dω/dt,

то, интегрируя это равенство по t, получим:

∫dφ = ∫dω/dt = ∫( ω0 + αt)dt = ∫ω0dt + ∫αtdt;     φ – φ0 = ω0t + αt2/2,

где φ0 – начальное угловое перемещение.

Очевидно, что в случае φ0 = 0, формула примет вид: φ = ω0t + αt2/2.

Итак, формулы для равнопеременного вращательного движения твердого тела записываются следующим образом:

α = const;      ω = ω0 + αt;      φ = ω0t + αt2/2.

Из этих формул можно получить формулы углового перемещения в другом виде:

φ = (ω2 – ω02)/(2α)    или    φ = (ω0 + ω)t/2.

***

Сложное движение точки и твердого тела