Техническая механика





Сложное движение точки



Что такое сложное движение точки?

В предыдущей статье рассматривалось движение точки относительно одной системы координат, которую считали неподвижной. В реальном мире все находится в непрерывном движении, и неподвижная система координат в действительности не существует.
сложное движение точки Поэтому нередко возникает необходимость рассматривать движение точек одновременно по отношению к двум системам отсчета, одна из которых условно считается неподвижной, а вторая определенным образом движется по отношению к первой.
Движение точки в этом случае называется сложным.

Движение точки по отношению к неподвижной системе координат называется абсолютным, а по отношению к подвижной системе координат – относительным.
Движение подвижной системы координат по отношению к неподвижной называют переносным движением.
Абсолютное движение точки является сложным и состоит из относительного и переносного движения.

Скорость точки в абсолютном движении называется абсолютной скоростью, а скорость точки в относительном движении называется относительной скоростью. Скорость точки, мысленно закрепленной в данный момент времени на подвижной системе координат, называется переносной скоростью.
Связь между этими скоростями устанавливает теорема о сложении скоростей.

***

Теорема о сложении скоростей

Теорема: абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей.

Пусть за время Δt точка переместилась из положения А в положение А3, двигаясь по траектории абсолютного движения, т. е. по дуге АА3 (см. рис. 1).
теорема о сложении скоростей Если бы имело место только относительное движение, то точка перешла бы в положение А2. Можно представить, что точка А перешла в положение А3, двигаясь сначала только по траектории переносного движения (дуга АА2), а затем только по траектории относительного движения (дуга А2А3 равная дуге АА1).
Соединив точки А, А2 и А3 хордами, получим следующую зависимость между векторами перемещений точки А:

АА3 = АА2 + А2А3.

Разделим все члены равенства на Δt и перейдем к пределу при Δt, стремящемся к нулю:

lim (AA3)/Δt = lim (AA2)/Δt + lim (A2A3)/Δt,    что дает    v = ve + vr,

где: v – вектор абсолютной скорости; ve - вектор переносной скорости; vr – вектор относительной скорости.

Теорема доказана.

***



Пример решения задачи на сложение скоростей

Задача:
Стержень ОА (рис. 2) вращается в плоскости чертежа вокруг неподвижной точки О по закону φ = t2.
По стержню равноускоренно движется ползун М, удаляясь от точки О.
Движение ползуна определяется уравнением s = ОМ = 2 + 2t2,
где s – путь в метрах, t – время в секундах.

Найти абсолютную скорость ползуна в момент времени t = 1 сек.

Решение.
Выберем неподвижную систему координат xOy; подвижной системой будет считать стержень. пример решения задачи на сложение скоростей В этом случае относительным движением является движение ползуна М по стержню. Следовательно, относительная скорость направлена вдоль стержня и равна

vr = ds/dt = Δt.

В момент времени t = 1 сек относительная скорость по модулю будет равна vr1 = 4 м/с.

Переносным движением является вращательное движение стержня ОА с мысленно закрепленным на нем в данный момент времени ползуном, поэтому переносная скорость ve ползуна направлена перпендикулярно стержню, причем ее значение определяется по формуле

ve = ωОМ = (dφ/dt)OM.

Так как ОМ = s = 2 + 2t2, а dφ/dt = 2t, то ve = 2t(2 + 2t2).

Полагая t = 1 сек, получим ve1 = 8 м/с.

Так как относительная и переносная скорости взаимно-перпендикулярны, а на основании теоремы о сложении скоростей v = ve + vr, то по теореме Пифагора получим:

v = √(ve2 + vr2).

Подставив в это уравнение значение скоростей при t = 1 сек, получим:

v = √(ve2 + vr2) = √(42 + 82) = 8,94 м/с.

Задача решена.

***

Плоскопараллельное движение