Техническая механика





Динамика



Принцип независимости действия сил

Принцип независимости действия сил формулируется так: при одновременном действии на материальную точку нескольких сил ее ускорение равно векторной сумме ускорений, которые эта точка получила бы от действия каждой силы в отдельности.

Пусть к материальной точке А приложены силы F1 и F2 равнодействующая которых равна F на основании аксиомы параллелограмма запишем:

F1 + F2 = F.

Разделив обе части равенства на массу точки m, получим:

F1/m + F2/m = F/m,   откуда имеем:   а1 + а2 = а.

Применяя последовательно аксиому параллелограмма, можно показать, что при одновременном действии на материальную точку нескольких сил ее ускорение будет таким, как если бы действовала одна равнодействующая сила F = ΣFi.

Пользуясь изложенным выше принципом независимости действия сил, выведем уравнение движения материальной точки в дифференциальной форме.

***

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Пусть материальная точка А массой m движется в плоскости чертежа под действием равнодействующей силы F = ΣFi с ускорением а, тогда:

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

F = ma.

Спроецируем это векторной равенство на две взаимно-перпендикулярные оси координат x и y (оси и вектор силы F лежат в одной плоскости) и получим уравнение плоского движения материальной точки в координатной форме:

Fx = ΣX = max;     Fy = ΣY = may.

Применяя теорему о проекции ускорения на координатную ось, эти уравнения можно записать в виде дифференциальных уравнений плоского движения точки:

ΣX = m(d2x/dt2);     ΣY = m(d2y/dt2),

где ΣX и ΣY – алгебраические суммы проекций сил, действующих на точку, на соответствующие координатные оси; x и y – текущие координаты точки.

С помощью полученных дифференциальных зависимостей решаются две основные задачи динамики:

  • по заданному движению точки определяют действующие на нее силы;
  • зная действующие на точку силы, определяют ее движение.

В тех случаях, когда при решении задач имеем дело с несвободной материальной точкой, необходимо применять принцип освобождаемости, т. е. отбросить связи и заменить их реакциями, учитывая последние в уравнении движения наравне с действующими на точку активными силами.

***



Пример решения первой задачи динамики

Задача: движение тела массой m = 0,5 кг выражается уравнениями:

x = 2t;     y = 3 + t – 5t2,

где x и y (в сантиметрах) – координаты точки в момент времени t (в секундах).

Определить силу, действующую на тело.

Решение.
Данный пример относится к первой задаче динамики. Прежде всего, пользуясь теоремой о проекции ускорения на координатную ось, определим проекции ускорения на оси x и y:

ax = d2x/dt2 = 0;     ay = d2y/dt2 = - 10 см/с2 = - 0,1 м/с2.

Подставив эти значения в уравнение движения материальной точки, получим:

X = max = 0,5×0 = 0 Н;     Y = may = 0,5×(- 0,1) = - 0,05 Н.

По полученным значениям проекций силы на координатные оси можно сделать вывод, что она параллельна оси ординат, направлена в сторону отрицательных ординат и по модулю равна:

F = √(X2 + Y2) = |Y| = 0,05 Н.

Задача решена.

***

Пример решения второй задачи динамики

Задача: на материальную точку массой m = 4 кг, лежащую на гладкой горизонтальной плоскости, действует горизонтальная сила F = 12 Н.
С какой скоростью будет двигаться материальная точка через время t = 10 с, если до приложения силы точка находилась в состоянии покоя?

Решение.
Данный пример относится ко второй задаче динамики.
Так как данная материальная точка лежит на гладкой горизонтальной плоскости, то под действием горизонтальной постоянной силы F точка будет двигаться прямолинейно равноускоренно. Направив координатную ось x вдоль траектории движения точки (вдоль вектора силы F), запишем уравнение ее движения:

ΣX = max = ma.

Спроецировав на ось x действующие на точку силы, и подставив в это уравнение значение массы m, определим ускорение точки:

a = ΣX/m = F/m = 12/4 = 3 м/с2.

Применим формулу скорости равноускоренного движения и подставим в нее значения, получим:

v = v0 + at = at = 3×10 = 30 м/с.

Задача решена.

***

Движение материальной точки, брошенной под углом к горизонту