Техническая механика





Динамика



Движение материальной точки, брошенной под углом к горизонту

Рассмотрим материальную точку М массой m, брошенную из точки О поверхности Земли с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту (см. рис. 1).

Определим движение точки М, считая, что на нее действует только сила тяжести G (сопротивлением воздуха пренебрегаем).

Возьмем начало координат в точке О, ось x направим по горизонтали вправо (в направлении траектории, по которой движется точка), а ось y – по вертикали вверх. Очевидно, что проекция ускорения на ось х будет равна нулю, поскольку единственная сила, действующая на точку - сила тяжести - направлена вертикально вниз (вдоль оси y), а согласно аксиоме Ньютона, без силы нет и ускорения.
Составим дифференциальные уравнения, описывающие движение точки:

m (d2x/dt2) = 0;     m(d2y/dt2) = - mg.

движение материальной точки под действием силы тяжести

Сокращая равенства на m, получим:

d2x/dt2 = 0;     (1)
  d2y/dt2 = - g.     (2)

Интегрируя первое из этих уравнений (1), получим:

dx/dt = С1, где С1 – некоторая произвольная постоянная.

Следовательно, проекция скорости точки М на ось x все время остается величиной постоянной, равной
vx = v0 cosα или, на основании результата интегрирования уравнения (1), можно записать:

dx/dt = v0 cosα.

Интегрируя это уравнение, получаем:

x = v0t cosα + С2.

По условию при t = 0    x = 0, следовательно, произвольная постоянная С2 равна нулю.
Окончательно имеем:

x = v0t cosα.

Интегрируем уравнение (2), находим:

vy = dy/dt = - gt + C3.

Подставив в это уравнение значение t = 0, найдем произвольную постоянную С3:

С3 = vy = v0 sinα, следовательно:

dy/dt = v0 sinα – gt.

Интегрируя вторично, получаем:

y = v0t sinα – gt2/2 + C4.

Поскольку по условию t = 0     y = 0 , следовательно, произвольная постоянная С4 равна нулю.
Окончательно получаем:

y = v0t sinα – gt2/2.

Таким образом становится очевидным, что материальная точка М, брошенная с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту, движется согласно уравнениям:

x = v0t cosα,     (3)
  y = v0t sinα – gt2/2.     (4)

***



Определение траектории, высоты и дальности полета

Для определения траектории точки М исключаем из полученной системы уравнений движения время. Для этого из формулы (3) выражаем время: t = x/(v0 cosα) и подставляем это значение в формулу (4).
Получим уравнение траектории:

y = x tgα – gx2/(2v02 cos2α).

Траектория точки М представляет собой параболу с вертикальной осью симметрии.

Определим время полета точки М, для чего во второе уравнение движения (4) подставим значение y = 0.
Тогда уравнение движения примет вид:

v0t sinα – gt2/2 = 0.

Отсюда находим два значения времени t, при которых ордината равна нулю (корни уравнения):

t0 = 0;     t2 = (2v0 sinα)/g.

Первое значение времени соответствует началу полета, второе – конечной точке траектории полета.
Тогда общая продолжительность полета будет равна:

t2 – t0 = t2 = (2v0 sin α)/g.

Определим дальность полета по горизонтали, для чего в уравнение движения (3) подставим значение времени t2:

x2 = v0t cosα = (v0 cosα×2v0 sinα)/g    или    x2 = v0t cosα = (v02 sin 2α)/g.

Из полученного уравнения можно сделать вывод, что максимальная дальность полета xmax имеет место при sin2α = 1, т. е. при α = π/4 рад:

xmax = v02/g.

Определим наибольшую высоту подъема точки М, т. е. ее ординату в тот момент времени t1, когда проекция скорости на ось y окажется равной нулю:

движение материальной точки, брошенной под углом к горизонту

dy/dt = vy = v0 sinα – gt1 = 0.

Из полученного равенства определим t1:

t1 = (v0 sinα)/g = t2/2.

Следовательно, наибольший подъем точки имеет место в середине пути полета, при x1 = x2/2.

Подставив значение t1 в уравнение (4), получим:

y1 = (v0 sinα×v0 sinα)/g – gv02 sin 2α/(2g2).

Из полученного уравнения можно сделать вывод, что максимальной высоты точка достигает при sinα = 1 или при α = π/2 рад, т. е. когда точка брошена под углом 90˚ к горизонту (вертикально вверх).

Полученные формулы и зависимости позволяют решать различные задачи на движение тел и точек под действием силы тяжести в приближенной форме, поскольку они не учитывают силы сопротивления движению со стороны воздуха (аэродинамическое сопротивление).

***

Основы кинетостатики.
Принцип Даламбера (Д'Аламбера)