Техническая механика





Основы кинетостатики



Метод кинетостатики в динамике.
Принцип Даламбера

Как известно, первый закон Ньютона гласит, что любое тело, любая материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока какая-нибудь сила не нарушит это состояние. Этот закон называют законом инерции, а свойство материальных тел «неохотно» изменять свое текущее состояние покоя – инертностью.

Явление инертности использовал в идее оригинального принципа динамических расчетов французский ученый Ж. Д’Аламбер (д’Аламбер, Даламбер; фр. Jean Le Rond D'Alembert, d'Alembert, 1717-1783), по имени которого этот принцип и назван.
Принцип Д’Аламбера (Даламбера) широко применяется для решения задач динамики методами кинетостатики.

Справедливости ради, следует отметить, что несколько раньше Д’Аламбера возможность решения задач динамики с помощью приемов статики изучали такие видные российские ученые Петербургской Академии наук, как Я. Герман и Л. Эйлер, жившие примерно в одно время с Даламбером.

Жан Даламбер

Итак, что же такое принцип Д’Аламбера и чем он может быть полезен при решении задач динамики?

Сначала вспомним статику, где все легко и просто – любое тело или материальная точка будет находится в равновесии, если действующие на него силовые факторы уравновешивают друг друга. Все очевидно, просто и понятно. Благодаря приемам статики можно определить неизвестные активные или реактивные силы, действующие на уравновешенное тело или точку, применив простые математические приемы и геометрические построения.
Нельзя ли эти приемы использовать для подвижных тел, причем не просто подвижных, а движущихся с ускорением? Оказывается можно, а иногда даже просто необходимо, как указал знаменитый француз, увековечивший свое имя в известном потомкам принципе.

Представим себе материальную точку массой m движущуюся с ускорением a под действием какой-то системы активных и реактивных сил, равнодействующая которых равна F.
Воспользуемся вторым (основным) законом динамики для того, чтобы уравнение движения этой точки записать в форме уравнений равновесия:

F + (- ma) = 0.

Выражение, стоящее в скобках называют силой инерции, и обозначают Fин.
Итак:

Fин = - ma.

Сила инерции есть вектор, равный произведению массы материальной точки на ее ускорение в данный момент времени, и направлен в сторону, противоположную ускорению.
На основании этого определения можно записать:

F + Fин = 0    или    Σ(F, Fин) = 0.

Это равенство и является математическим выражением принципа Д’Аламбера, который формулируется так: активные и реактивные силы, действующие на материальную точку, вместе с силами инерции образуют систему взаимно уравновешенных сил, удовлетворяющих всем условиям равновесия.
Т. е. Д’Аламбер предложил оригинальный способ применения методов статики к движущимся материальным точкам, использовав при этом в качестве основного инструмента понятие инертности и силы инерции.

Утверждение, что тело якобы находится в состоянии равновесия во время ускоренного движения, может вызвать недоумение. Как это может быть?
Здесь следует отметить, что сила инерции, введенная в научную терминологию Д’Аламбером, является понятием условным, т. е. фактически такой силы в природе не существует, в отличие от понятия инертности - свойства любых материальных тел и точек, проявляющееся в стремлении сохранять свое состояние. Но именно условное уравновешивание силой инерции движущихся с ускорением тел, позволило использовать при решении задач динамики приемы статики, породив раздел теоретической механики - кинетостатику.

Явление инертности (инерции) можно пояснить на таком простом примере. Если подвесить на нити груз, который она легко выдержит в статическом состоянии, а затем резко дернуть за конец нити, то она порвется именно благодаря инертности груза.
Другой пример: если тяжелое чугунное ядро попытаться сдвинуть с места, то потребуется приложить немалое усилие, чтобы оно покатилось. Когда же ядро, наконец, покатилось, для его остановки потребуется, опять же, немалое мускульное усилие.
В каждом из этих случаев наглядно проявляется свойство инертности материальных тел.

***

Пример решения задачи методом кинетостатики

Задача: в кабине лифта размещены пружинные весы, на которых установлен груз. Когда кабина неподвижна показание весов составляет 50 Н, а при движении лифта показание весов увеличилось до 51 Н.
Определить, с каким ускорением движется кабина лифта.

Решение.
Применим к телу принцип освобождаемости, отбросим пружинные весы и заменим их реакцией R, равной натяжению пружины. Для решения задачи применим метод кинетостатики, т. е. приложим к телу силу инерции Fин.
Составим уравнение равновесия взвешиваемого тела, спроецировав все силы на вертикальную ось y; предполагаем, что ускорение а кабины направлено вверх, и, следовательно, сила инерции направлена вниз (т. е. в противоположную ускорению сторону):

ΣY = 0;     R – G – Fин = 0.

Модуль силы инерции определяем по формуле:

Fин = ma = (G/g)a.

Подставив это выражение в уравнение, определим ускорение:

a = (R – G)g/G = (51 – 50)×9,81/50 = 0,196 м/с2.

Ускорение получилось положительным, следовательно мы изначально правильно предположили, что оно направлено вверх (если бы получилось отрицательное значение, значит ускорение направлено вниз).

Задача решена.

***



Силы инерции в криволинейном движении

В криволинейном движении точки полное ускорение равно векторной сумме касательного (тангенциального) и нормального (центростремительного) ускорений.

Касательное ускорение определяется по формуле aτ = dv/dt, нормальное ускорение an = v2, полное ускорение a = √(aτ2 + an2).

Каждому ускорению соответствует своя сила инерции:

  • Касательная (тангенциальная) сила инерции: Fτин = mdv/dt;
  • Нормальная (центробежная) сила инерции: Fnин = mv2;
  • Полная сила инерции: Fин = ma.
метод кинетостатики или принцип Даламбера

В качестве примера рассмотрим равномерное движение по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости, камня силой тяжести G, привязанного невесомой нитью длиной r, расположенной в той же плоскости (рис. 1).
Чтобы нить оставалась в плоскости движения камня, предполагается, что он скользит по идеально гладкой горизонтальной плоскости.
Скорость движения камня обозначим v.

Тогда Fnин = mv2 - центробежная сила инерции (эта сила натягивает нить); R = mv2 - центростремительная сила, приложенная к камню (эта сила удерживает камень на круговой траектории).
Обе эти силы, согласно второму закону Ньютона, равны по модулю и направлены в противоположные стороны, т. е. уравновешивают друг друга.
Очевидно, что касательная сила в данном примере будет равна нулю, поскольку камень движется равномерно (аτ = 0).

Из опыта известно, что при достаточной скорости камня нить может не выдержать и разорваться, тогда камень полетит по касательной к окружности, т. е. по направлению имеющейся в момент разрыва нити скорости. Это доказывает, что центробежная сила инерции есть реальная сила для связи, но к телу она приложена условно.

Внутри тел, движущихся с ускорением, также возникают внутренние силы инерции, так как для каждой частицы тела соседние являются связями.

Найдем, чему будет равно натяжение нити, если камень движется по окружности, лежащей в вертикальной плоскости (рис. 2). Для определения натяжения R нити применим принцип Д’Аламбера, т. е. приложим к камню нормальную силу инерции Fnин и касательную силу инерции Fτин.

принцип Даламбера

Спроецируем все силы в направлении нити, в результате чего получим:

R – G cosα – Fnин = 0,    откуда:    R = Fnин + G cosα = mv2/r + G cosα.

Очевидно, что натяжение нити будет максимальное при α = 0, т. е. когда камень находится в нижнем положении:

Rmax = mv2/r + G.

Минимальное натяжение нити имеет место, когда α = π рад, т. е. в тот момент, когда камень находится в верхнем положении:

Rmin = mv2/r - G.

Следует отметить, что под влиянием силы тяжести в данном случае модуль скорости камня будет изменяться от максимума в нижнем положении до минимума в верхнем положении.

Если выразить линейную скорость камня через угловую скорость нити, используя зависимость v = ωr, то формула центробежной силы примет вид:

Fnин = mω2/r.

***

Пример решения задачи с использованием принципа Д’Аламбера

Задача: определить скорость v искусственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите на высоте h = 230 км от поверхности Земли, радиус которой принять равным R = 6370 км.
Изменением ускорения свободного падения и сопротивлением атмосферы пренебречь.

Решение.
После того, как ракета-носитель вывела спутник массой m на орбиту и сообщила ему скорость v, направленную по касательной к орбите, спутник продолжает движение под действием одной лишь силы притяжения Земли.
Для определения скорости v спутника применим принцип Д’Аламбера, т. е. приложим к спутнику центробежную силу инерции и составим уравнение равновесия, спроецировав все силы на ось, проходящую через спутник и центр Земли:

mg – Fnин = 0.

Так как Fnин = mv2/(R + h), то можно записать: mg - mv2/(R + h) = 0.

Сократив члены этого равенства на m (массу спутника), получим:

v = √[g(R + h)].

Подставив значения, получим: v = √[9,81(6370 + 230)1000] ≈ 8000 м/с ≈ 8 км/с.

Задача решена.

***

Работа и мощность силы