Техническая механика





Теоремы и законы динамики материальной точки



Количество движения и импульс силы

Общие теоремы динамики материальной точки устанавливают зависимость между изменениями динамических мер движения материальной точки и мерами действия сил, приложенных к этой точке.

Количеством движения mv материальной точки называют вектор, равный произведению массы точки на ее скорость и имеющий направление скорости.
Количество движения является динамической мерой движения материальной точки.

Единицей измерения количества движения, в соответствии с приведенным определением, является (кг×м)/с.

Импульсом Ft постоянной силы F называется вектор, равный произведению силы на время ее действия.
Импульс силы является мерой ее действия по времени.
Единица импульса силы, согласно приведенному выше определению, является произведение Н×с.
Если силу заменить произведением массы на ускорение (второй закон Ньютона), то получим:

[Ft] = [F][t] = [a][m][t] = (кг×м/с2)×с = (кг×м)/с.

Очевидно, что количество движения и импульс силы выражаются в одинаковых единицах, поэтому между этими динамическими мерами существует зависимость, устанавливаемая теоремой об изменении количества движения.

***

Теорема об изменении количества движения

Теорема: изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу приложенной к ней силы за тот же промежуток времени.

Докажем эту теорему для случая прямолинейного движения материальной точки под действием постоянной силы F, в этом случае движение будет равнопеременным, и скорость в каждый момент времени может быть определена по формуле:

v = v0 + at.

Преобразуем это выражение: перенесем v0 в левую часть и умножим каждое из слагаемых уравнения на массу m материальной точки:

mv – mv0 = mat.

Но произведение массы точки на ее ускорение есть сила, под действием которой точка движется, следовательно, уравнение будет справедливо в виде:

mv –mv0 = Ft.

В левой части полученного равенства имеем изменение количества движения за время t, а в правой – импульс силы за это же время, что и требовалось доказать.

Если движение замедленное (v < v0), то вектор силы направлен в сторону, противоположную вектору скорости, и, следовательно, в последую формулу силу следует подставлять с отрицательным знаком.

В случае криволинейного движения материальной точки под действием переменной по модулю и направлению силы весь промежуток времени t можно разбить на бесконечно малые промежутки, в пределах которых вектор силы можно считать постоянным, а путь – прямолинейным, тогда импульс силы за конечный промежуток времени t будет равен сумме элементарных импульсов.
В этом случае математическое выражение теоремы об изменении количества движения приобретает следующий вид:

mv – mv0 = ∫ F dt.

Если к материальной точке приложено несколько постоянных сил, то изменение количества движения будет равно сумме (алгебраической, если силы действуют по одной прямой, и векторной, если силы действуют под углом друг к другу) импульсов данных сил:

mv – mv0 = Σ(Fit).

***

Механическая энергия и ее виды

Слово "энергия" в переводе с греческого означает "действие". В предыдущей статье было дано определение энергии, как способности материи совершать работу при переходе из одного состояния в другое.
теоремы динамики материальной точки Механической энергией называют энергию перемещения и взаимодействия тел, при этом различают два вида механической энергии: кинетическую и потенциальную.

Потенциальной энергией называют энергию взаимодействия между материальными телами (точками) какой-либо системы. Потенциальная энергия, как часть общей механической энергии системы материальных тел, зависит от взаимного расположения тел (частей) этой системы, и от их положений во внешнем силовом поле (например, гравитационном).
Так, потенциальной энергией силы тяжести (энергией положения) обладают тела, находящиеся над поверхностью земли, а сжатая пружина или рессора – потенциальной энергией силы упругости.
Мерой потенциальной энергии является работа, которую произведет материальное тело (точка) при освобождении от связей, не позволяющих выплеснуть эту энергию.

Кинетическая энергия – это энергия движения, т. е. ей обладает любая движущаяся материальная точка. Кинетическая энергия является динамической мерой движения материальной точки; это скалярная и всегда положительная величина.
Поскольку кинетическая энергия является энергией движения, очевидно, что ее величина зависит от скорости, с которой движется материальная точка (тело). Величина кинетической энергии, которой обладает данная материальная точка, может быть определена по формуле:

К = mv2/2.

Нетрудно заметить, что кинетическая и потенциальная энергия материальной точки являются величинами относительными, поскольку они имеют смысл лишь в пределах определенной системы материальных точек - либо относительным расположением, либо относительной скоростью по отношению к другим материальным точкам этой системы.

Единица измерения кинетической энергии – Джоуль (Дж):

1 Дж = кг×(м/с)2 = (кг×м/с2)м = Н×м.

Из приведенных соотношений видно, что кинетическая энергия имеет размерность работы; связь между этими физическими величинами устанавливает теорема об изменении кинетической энергии.

***



Теорема об изменении кинетической энергии

Теорема: изменение кинетической энергии материальной точки на некотором пути равно работе силы, приложенной к точке на том же пути.

Докажем эту теорему для самого общего случая движения материальной точки, т. е. для случая криволинейного движения под действием переменной силы (рис. 1).

теорема об изменении кинетической энергии

Запишем для этой точки основное уравнение динамики (второй закон Ньютона):

F = ma,

где m – масса точки; а – полное ускорение точки; F – сила, действующая на точку.

Спроецируем векторное равенство на направление скорости v точки:

ma cos α = Fτ = F cos α.

Как известно из кинематики, a cos α = aτ = dv/dt, следовательно,

m dv/dt = F cos α.

Умножив обе части равенства на бесконечно малое перемещение ds, получим:

m dv ds/dt = F ds cos α.

Выражение, стоящее в левой части преобразуем следующим образом:

m dv ds/dt = m dv(ds/dt) = mv dv,   следовательно   mv dv = Fds cos α.

Интегрируя обе части этого равенства в пределах для скорости от v0 до v и для пути от 0 до s, получим:

m ∫ v dv = ∫ F cos α ds     или     mv2/2 – mv02/2 = W,

где W – работа силы F на пути s.

Теорема доказана.

При замедленном движении (v < v0) составляющая Fτ, вызывающая касательное ускорение аτ, будет направлена в сторону, противоположную направлению вектора скорости v, и работа силы F будет отрицательной.

Составляющая Fn, вызывающая нормальное (центростремительное) ускорение аn, работы не совершает, поскольку эта составляющая в каждый данный момент времени перпендикулярна элементарному перемещению точки приложения силы F.

Если к материальной точке приложено несколько сил, то изменение кинетической энергии равно алгебраической сумме работ этих сил:

mv2/2 – mv02/2 = ΣWi.

***

Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения механической энергии материальной точки можно сформулировать так: сумма потенциальной и кинетической энергии материальной точки есть величина постоянная, при этом один вид энергии может переходить в другой при изменении механического состояния точки.

Этот закон наглядно проявляется при рассмотрении механической энергии тел, поднятых над поверхностью Земли и изменении их механического состояния при свободном падении.

Так, потенциальная энергия положения тела, обусловленная силой тяжести, может быть определена, как произведение силы тяжести тела G на высоту его подъема h над поверхностью Земли:

П = Gh.

Пусть материальная точка массой m, падая под действием одной лишь силы тяжести G в положении М1 находилась на высоте h1, имела начальную скорость v1 и обладала потенциальной энергией П1 (рис. 2).
закон сохранения механической энергии В положении М2 точка оказалась на высоте h2, ее скорость стала v2, а потенциальная энергия П2.

При падении точки под действием одной лишь силы тяжести совершается работа

W = G(h1 – h2) = Gh1 – Gh2 = П1 – П2.

Согласно теореме, доказанной выше, эта работа равна изменению кинетической энергии:

W = mv2/2 – mv02/2 = К2 – К1,

или

П1 – П2 = К2 – К1,  или  П1 + К1 = П2 + К2    следовательно,    П + К = const.

Это равенство и является математическим выражением закона сохранения механической энергии, сформулированного выше.

На основании закона сохранения механической энергии нетрудно доказать, что если тело бросить с поверхности Земли вертикально вверх, то его кинетическая энергия в нижнем положении будет равна потенциальной энергии в верхнем положении.

Закон сохранения механической энергии справедлив при движении под действием любой потенциальной силы; при движении под действием не потенциальных сил (например, силы трения), механическая энергия переходит в другие виды энергии.

В заключение следует отметить, что закон сохранения механической энергии является частным случаем общего закона сохранения материи и энергии, сформулированного М. В. Ломоносовым (1711-1765). Установление этого закона является одним из величайших открытий своего времени.

В прошлом столетии еще один величайший физик – А. Эйнштейн создал теорию относительности, одним из выводов которой является закон пропорциональности массы и энергии, математическая суть которого выражается формулой: E = mc2, где E – полная энергия (включающая все виды энергии – механическую, тепловую, химическую, ядерную, электромагнитную и т. п.), которой обладает любая материальная точка; m – масса материальной точки, с – скорость света.

На основании формулы, предложенной Эйнштейном, можно подсчитать, что 1 грамм материи обладает полной энергией, эквивалентной 25 млн кВтч электроэнергии – величина колоссальная, над безопасным и дешевым высвобождением которой для нужд человечества работают лучшие научные умы.

***

Пример решения задачи

Задача: материальная точка брошена с Земли вертикально вверх с начальной скоростью v0 = 20 м/с.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить максимальную высоту подъема h, на которую поднимется точка.

Решение. Для решения задачи запишем выражение для кинетической и потенциальной точки энергии в момент начала движения:

К1 = mv2/2;      П1 = 0

и в момент максимального подъема:

К2 = 0;     П2 = mgh,    где m – масса материальной точки.

Согласно закону сохранения механической энергии можно записать:

К1 + П1 = К2 + П2     или     mv2/2 = mgh.

Сократив обе части равенства на m, определим высоту h максимального подъема материальной точки:

h = v02/2g = 202/(2×9,81) ≈ 20,4 м.

Задача решена.

***

Динамика системы материальных точек