Техническая механика





Динамика системы материальных точек



Уравнение поступательного движения твердого тела

Механической системой материальных точек называется совокупность материальных точек, каким-то образом связанных межу собой.
Всякое твердое тело можно считать неизменяемой механической системой материальных точек. Силы взаимодействия точке данной системы называются внутренними силами; силы, с которыми действуют на данную систему другие точки, не входящие в эту систему, - внешними.

Пусть твердое тело массой m движется под действием силы F поступательно с ускорением а (рис. 1).

динамика системы материальных точек и тел

Разобьем тело на ряд материальных точек с массами m1 и применим принцип Даламбера, не забывая при этом, что внутренние силы в уравнение равновесия не входят, так как на основании третьего закона Ньютона их сумма для системы в целом равна нулю.
В каждой материальной точке приложим силу инерции Fiин = - mia и составим уравнение равновесия:

ΣX = 0;    F – ΣFiин = 0,

откуда:

F = ΣFiин = Σ(mia).

Так как при поступательном движении все точки тела имеют одинаковые ускорения, то а можно вынести за знак суммы, т. е.

F = ΣFiин = аΣmi = am.

Согласно второму закону Ньютона векторы силы F и ускорения а совпадают по направлению, поэтому можно записать:

F = ma.

Это и есть уравнение поступательного движения твердого тела. Очевидно, что это уравнение ничем не отличается от основного уравнения динамики точки, следовательно, все формулы динамики точки применимы для тела, движущегося поступательно.

***

Уравнение вращательного движения твердого тела

Пусть твердое тело под действием системы сил вращается вокруг неподвижной оси z с угловым ускорением α (рис. 2).

уравнение движения вращающегося тела

Разобьем тело на ряд материальных точек с массами mi и применим, как и в предыдущем случае, принцип Даламбера (Д’Аламбера).
К каждой материальной точке приложены касательная и нормальная силы инерции. Составим уравнение равновесия:

ΣМz = 0;     ΣMzi(Fi) – ΣMz(Fτiин) = 0.

Моменты реакций подшипника и подпятника, а также сил Fτiин относительно оси z равны нулю, так как линии действия этих сил пересекают ось; сумма моментов внешних сил относительно оси вращения называется вращающим моментом.
Тогда

ΣMz(Fi) = T = ΣMz(Fτiин) = Σ(miri2α) = αΣ(miri2).

Выражение Σ(miri2) называют моментом инерции тела относительно оси и обозначают J:

J = Σ(miri2).

Момент инерции тела относительно оси есть сумма произведений масс материальных точек, составляющих это тело, на квадрат расстояния от них до этой оси.

В результате получим формулу:

Т = Jα,

которая называется уравнением вращательного движения твердого тела. В этой формуле J – момент инерции тела относительно оси вращения.

Единица момента инерции - [J] = [mr2] = [m][r2] = кг×м2.

Момент инерции играет во вращательном движении такую же роль, какую масса играет в поступательном движении, т. е. момент инерции есть мера инертности вращающегося тела.

В качестве примера определим момент инерции тонкого однородного сплошного диска, радиус которого R, толщина s, масса m, относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр О (см. рис 3).

момент инерции вращающегося тела

Разобьем диск на элементарные кольца переменного радиуса r, шириной dr и толщиной s. Согласно определению момент инерции такого кольца равен

dJ = dΣ(mir2) = r2 dΣmi = r2 dm = r2 2πr drsρ = 2πsρ r3 dr ,

где ρ – плотность материала диска.

Просуммировав моменты инерции всех элементарных колец, получим момент инерции всего диска:

J = ∫ 2πsρ r3 dr = 2πsρ ∫ r3 dr = 2πsρ r4/4 = πsρ r4/2.

Так как масса диска m = πr2, то можно записать: J = mR2/2.

Нетрудно понять, что момент инерции однородного сплошного прямоугольного кругового цилиндра радиусом R и массой m любой высоты определяют по такой же формуле. Чтобы убедиться в этом, достаточно мысленно разбить цилиндр плоскостями, параллельными основанию на тонкие диски, и просуммировать моменты инерции всех дисков.

***



Моменты инерции тел вращения

На основе теоретических выкладок, изложенных выше, мы установили, что момент инерции круглого диска и цилиндрического тела можно определить по формуле

J = mR2/2.

Аналогичные формулы можно вывести для определения моментов инерции других геометрических тел, наиболее часто встречающихся при расчетах и решении задач технической механики.

Моменты инерции для некоторых других однородных тел можно определить по формулам, которые приводятся здесь без вывода.

Шар массой m, радиусом R относительно диаметра:

J = 2/5 mR2;

Тонкий стержень массой m, длиной l относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его конец:

J = ml2/3;

Тонкая сферическая оболочка массой m, радиусом R относительно диаметра:

J = 2mR2/3;

Пустотелый вал массой m, наружным радиусом R и радиусом отверстия r относительно оси:

J = m(R2 + r2)/2.

Момент инерции Jz тела относительно какой-либо оси z, параллельной центральной (т. е. проходящей через центр тяжести С тела), равен сумме центрального момента инерции Jc и произведения массы m тела на квадрат расстояния а между этими осями:

Jz = Jc + ma2.

Из этой формулы (ее вывод здесь не приводится) следует, что из всех моментов инерции тела относительно параллельных осей наименьшим будет момент инерции относительно центральной оси, т. е. центральный момент инерции.

Иногда момент инерции определяют по формуле: J = mrи2, где rирадиус инерции тела:

rи = √(J/m).

Физический смысл радиуса инерции следующий: если массу тела сосредоточить в одной точке (такая масса называется приведенной) и поместить ее от оси вращения на расстоянии, равном радиусу инерции, то момент инерции приведенной массы будет равен моменту инерции данного тела относительно той же оси.

Удвоенный радиус инерции тела называется диаметром инерции: Dи = 2rи.

В практике иногда вместо момента инерции пользуются понятием махового момента GDи2.

Маховым моментом называется произведение силы тяжести G вращающегося тела на квадрат его диаметра инерции.

Единица махового момента - Н×м2.

Между маховым моментом и моментом инерции существует простая зависимость:

GDи2 = 4g J = 39,24 J.

***

Кинетическая энергия твердого тела

Кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетических энергий материальных точек, составляющих данное тело:

К = Σ(mivi2)/2.

Определим выражения для кинетической энергии твердого тела для трех случаев движения.

Тело движется поступательно

Учитывая, что при поступательном движении тела все его точки имеют одинаковую траекторию и одинаковые скорости, можно записать:

Кпост = Σ(mivi2)/2 = vi2/2 Σ mi,   или   Кпост = mv2/2.

Следовательно, при поступательном движении твердого тела его кинетическая энергия вычисляется по той же формуле, что и кинетическая энергия материальной точки.

Тело вращается вокруг неподвижной оси

Запишем:

Квр = Σ(mivi2)/2 = Σ[mi(ωri)2]/2 = (ω2)/2 Σ (miri)2    или    Квр = Jω2/2.

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

Тело движется плоскопараллельно

Как известно из кинематики, сложное плоскопараллельное движение твердого тела в каждый данный момент времени можно считать простейшим вращательным движением вокруг мгновенной оси (метод мгновенных центров скоростей).
момент инерции и кинетическая энергия тела Допустим, что известна скорость vс центра тяжести тела, тогда мгновенная угловая скорость

ω = vс/ОС,

где ОС – расстояние центра тяжести С тела от мгновенной оси вращения О.

Момент инерции Jо относительно мгновенной оси вращения определяют по формуле:

Jо = Jс + mОС2,

где Jс - момент инерции относительно центральной оси или центральный момент инерции.

Кинетическую энергию тела, движущегося плоскопараллельно, определяют следующим образом:

Кпп = Jоω2/2 = (Jс + mОС2) ω2/2 = (Jсω2)/2 + mOC2/2×vс2/ОС2,

или

Кпп = mvс2/2 + Jсω2/2.

Кинетическая энергия твердого тела, движущегося плоскопараллельно, равна сумме кинетических энергий в поступательном движении вместе с центром тяжести и вращательном движении вокруг центральной оси, перпендикулярной основной плоскости.

В заключение сформулируем теорему об изменении кинетической энергии системы тел:

Изменение кинетической энергии системы тел при некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех внешних (активных и реактивных) и внутренних сил, действовавших на систему при указанном перемещении:

ΣК – ΣК0 = ΣW.

Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий каждого тела в отдельности.

Если тело твердое, то сумма работ его внутренних сил равна нулю. При некоторых связях, называемых идеальными, работа реактивных сил тоже будет равна нулю.

***

Балансировка вращающихся тел