Техническая механика





Сопротивление материалов

Деформация кручения



Напряжения и деформации при кручении

Исследование отдельных участков и слоев цилиндрического бруса, нагруженного скручивающим (вращающим) моментом, дает основание полагать, что в поперечных сечениях этого бруса нормальные напряжения (направленные вдоль оси) отсутствуют, а возникают только касательные напряжения, модули которых расположены в плоскости исследуемого сечения.
Этот вывод опирается и на гипотезу о не надавливании волокон, предполагающую, что если брус представить в виде многочисленных цилиндрических продольных волокон, то при деформациях разного рода эти волокна не оказывают друг на друга силового воздействия (не давят друг на друга).
деформация кручения Как показали многочисленные опыты и исследования, эта гипотеза справедлива в определенном интервале деформаций, и погрешностями в расчетах, связанными с ее применением, можно пренебречь.

На рис. 1 видно, что абсолютный сдвиг сечения волокна а равен дуге аа1, а сечения волокна b - дуге bb1. Этот сдвиг (т. е. длины дуг) можно определить, зная угол φ закручивания исследуемого сечения относительно центральной оси:
дуга аа1 = rφ; дуга bb1 = Rφ,
где: r - расстояние от волокна а до оси кручения, R - радиус сечения круглого бруса, φ - полный угол закручивания бруса.

Так как радиусы сечений при кручении бруса остаются прямыми (принятое предположение), то величина абсолютного сдвига сечения волокон прямо пропорциональна их расстоянию от оси кручения, т. е. чем дальше от оси расположено продольное волокно, тем сильнее сдвинется его сечение относительно центральной оси.

Относительный сдвиг сечения произвольного продольного волокна b может быть определен по формуле:
γр = rφ / l,
где φ / l = φ0 - относительный угол закручивания (для любого сечения круглого однородного бруса эта величина является постоянной). Тогда:
γр = φ0r.

Поскольку мы пришли к выводу, что при кручении в поперечных сечениях бруса возникает только деформация сдвига, то можно применить формулу, описывающую закон Гука при сдвиге:

τr = Gγр = Gφ0r.

Здесь τr - касательное напряжение в сечении волокна, G - коэффициент пропорциональности между относительным углом закручивания и величиной касательного напряжения, возникающего в сечении волокна, который называют модулем упругости второго рода.
Модуль упругости имеет такую же размерную единицу, как и напряжение (Па) и характеризует физические свойства материала бруса. Для разных материалов модуль упругости устанавливается опытно-экспериментальным путем и приводится в справочниках в виде таблиц, применяемых при расчетах.

На основании приведенной формулы Гука для сдвига при кручении можно сделать вывод, что для центрального волокна бруса (т. е. расположенного на оси закручивания в центре сечения) касательные напряжения равны нулю: если r = 0, то τ = 0.

Максимального значения касательные напряжения достигают в сечениях волокон, наиболее удаленных от оси закручивания бруса, т. е. на внешней поверхности бруса: если r = R, то τ = τmax.

Так как касательные напряжения в сечениях волокон бруса находятся в прямо пропорциональной зависимости от расстояния до оси кручения, то эпюра распределения напряжений вдоль радиуса сечения имеет вид треугольника (рис. 4).
Исходя из схемы распределения напряжений, можно сделать вывод, что в круглых валах наиболее напряженными являются внешние слои, а внутренние почти не испытывают нагрузки. По этой причине многие валы машин и механизмов изготавливаются трубчатой формы (пустотелыми), что позволяет сэкономить дорогостоящий металл при незначительной потере прочности конструкции.

Если брус имеет по всей длине одинаковый диаметр (все сечения одинаковы по размерам и форме), и к каждому сечению приложен одинаковый крутящий момент, то касательные напряжения в каждом продольном волокне этого бруса будут одинаковы по величине.

***



Определение угла закручивания и напряжений

Чтобы вывести формулы, определяющие угол закручивания и напряжения в поперечных сечениях бруса, рассечем его на расстоянии l1 от заделки (рис. 1), и рассмотрим полученное сечение (рис. 4 ).

Выделим в сечении бесконечно малую площадку dS на расстоянии r от оси кручения. Сила dQ, действующая на эту площадку, перпендикулярна радиусу r и может быть определена по формуле:

dQ = τrdS.

Определим крутящий момент (момент внутренних сил), возникающих в этой площадке, относительно оси кручения бруса:

Мкр = ∫s dQ r = ∫s τr dS r = ∫s G φ0 r dS = G φ0s r2 dS = G φ0 Ir,

где Ir - полярный момент инерции сечения (для круглого бруса Ir = πD4 / 32 = 0,1D4).
Определение угла закручивания и напряжений при кручении
Из полученной зависимости найдем относительный угол закручивания : φ0 = Мкр / (GIr).

Полный угол закручивания сечения φ (рад) цилиндрического участка бруса длиной l может быть определен по формуле: φ = Мкрl / (GIr).

Произведение модуля упругости G на полярный момент инерции сечения Ir называют жесткостью сечения.

Итак, можно сделать вывод, что полный угол закручивания круглого цилиндра прямо пропорционален крутящему моменту, длине цилиндра и обратно пропорционален жесткости сечения при кручении. Следует оговориться, что эта зависимость справедлива лишь до определенного предела, когда нагрузка и деформация пропорциональны.

Если цилиндрический брус (вал) состоит из нескольких участков, имеющих разный диаметр сечений (ступенчатый вал) или изготовленных из разного материала (составной вал), то полный угол закручивания такого бруса может быть определен, как сумма углов закручивания каждого отдельного участка.

Выведем теперь формулу для определения напряжений, возникающих в сечениях цилиндрического бруса при кручении.

τr = Gφor = GMкрr / (GIr) = Мкрr / Ir.

Как мы уже определили ранее, при r = R касательные напряжения достигают максимального значения:

τmax = МкрR / Ir = Мкр / (Ir / R) = Мкр / Wr,

где Wr = Ir / R - момент сопротивления сечения кручению (или полярный момент сопротивления).
Момент сопротивления кручению равен отношению полярного момента инерции к радиусу сечения. Единица измерения момента сопротивления кручению - м3.

***

Моменты сопротивления кручению круглых валов

В технических расчетах наиболее часто приходится иметь дело с круглыми или трубчатыми брусьями (валами), поэтому определим величину момента сопротивления кручению для круглого вала и для вала, имеющего кольцевое сечение (труба).

Для круга диаметром D:

Wr = Ir / 0,5D = πD4 / (32 x 0,5) = πD3 / 16 или приближенно: Wr ≈ 0,2D3.

Для кольца имеющего наружный диаметр D и внутренний диаметр d:

Wr = Ir / 0,5D = π(D4 - d4) / (32x0,5D) = π(D4 - d4) / 16D или приближенно: Wr ≈ 0,2(D4 - d4) / D.

Из последней формулы видно, что если полярный момент инерции кольцевого сечения можно определить, как разность между осевыми моментами инерции большого и малого кругов, то момент сопротивления кручения кольцевого сечения подобным образом рассчитать нельзя.

Итак, для определения напряжений в сечениях круглого бруса следует использовать формулы:

для сплошного вала: τmax ≈ Мкр / 0,2D3
для трубчатого вала: τmax ≈ МкрD / (D3 - d3)

Угол закручивания цилиндрического вала: φ = Мкрl / (GIr).

Эти формулы применяют при решении задач и выполнении расчетов на прочность для скручиваемых валов.

***

Материалы раздела "Деформация кручения":

Формула Журавского при изгибе