Техническая механика





Сопротивление материалов

Деформация кручения



Расчеты на прочность и жесткость при кручении

Условие прочности бруса при кручении заключается в том, что наибольшее касательное напряжение, возникающее в нем, не должно превышать предельно допустимое. При этом расчетная формула на прочность имеет вид:

τmax = Мкр / Wr ≤ [τкр],

где кр] - предельное допускаемое напряжение.

При практических расчетах, определяя предельные допускаемые напряжения для различных материалов, используют зависимость между напряжениями при растяжении и напряжениями при кручении, которая для стали и чугуна имеет вид:

для стали -кр] = 0,55....0,6 [σр]
для чугуна - кр] = 1,0....1,2 [σр])

(здесь р] - справочная или определяемая экспериментально величина, (предельное допустимое напряжение растяжения) характеризующая материал бруса (вала).

Кроме требования прочности к валам предъявляются требования жесткости, которое заключается в том, что угол закручивания участка вала длиной 1 м не должен превышать предельной величины, определяемой требованиями конструкции. Допускаемый угол закручивания 1 м длины вала задается в градусах и обозначается 0°].
Расчетная формула на жесткость при кручении имеет вид:

φ0°= 180 Мкр / (пGIr) ≤ [φ0°]

В реальных механизмах обычно допускаются углы закручивания валов в пределах 0°] = 0,25...1 градус/м.

Пример решения задачи на кручение

Определить минимальный допустимый диаметр вала d, передающего крутящий момент Мкр = 464 Нм, если допускаемое напряжение кручения кр] = 30 МПа.

Решение

По известному передаваемому крутящему моменту можно определить момент сопротивления кручению:

Wr = Мкр / [τкр] = 464 / 30 х 106 = 15,6 х 10-6 м3.

Из зависимости между моментом сопротивления кручению и диаметром вала Wr ≈ 0,2D3 находим минимальный допустимый диаметр:

D ≈ 3√ Wr / 0,02 ≈ 43 мм     (здесь и далее √ - знак корня).

Округляя найденное значение диаметра до стандартной величины (в большую сторону), принимаем D = 45 мм.

***



Потенциальная энергия деформации при кручении

Представим себе круглый цилиндрический брус (вал) постоянного сечения, жестко защемленный одним концом и нагруженный на другом конце моментом, приложенным статически, т. е. медленно возрастающим от нуля до какого-либо значения Т.
Полагаем, что момент остается в пределах, когда нагрузка и деформация пропорциональны, т. е. справедлив закон Гука.

Момент Т вызывает в брусе деформацию кручения и при этом совершает работу W, которая аккумулируется в виде потенциальной энергии деформации U, причем пренебрегая незначительными потерями энергии (например, на нагрев бруса), можно считать, что W = U.

Работа в случае статического нагружения равна: W = Т φ / 2, где φ - полный угол закручивания бруса.
Так как Т = Мкр, то справедливо равенство:

U = W = Т φ / 2 = Мкр2 l / (2Glr).

При одновременном действии нескольких моментов или ступенчатом изменении размеров поперечного сечения брус разбивают на однородные участки и потенциальную энергию деформации всего бруса определяют как сумму потенциальных энергий этих участков.

***

Материалы раздела "Деформация кручения":

Деформация среза