Техническая механика

Сопротивление материалов

Деформация кручения



Расчет цилиндрических винтовых пружин

В технике наиболее распространены цилиндрические винтовые пружины из стали круглого поперечного сечения, работающие на растяжение или сжатие. Покажем порядок расчета такой пружины, имеющей небольшой угол подъема витков (α ≤1 5°).

В качестве примера рассмотрим цилиндрическую винтовую пружину с диаметром D винтовой оси, диаметром d проволоки, числом витков n, сжимаемую силой F (рис. 5).

Для определения внутренних силовых факторов применим известный нам метод сечений. Рассечем пружину плоскостью, проходящей через ось, и отбросим нижнюю часть пружины. Ввиду того, что угол α подъема витков мал, будем считать сечение витка поперечным, т. е. кругом диаметром d.

Рассматривая равновесие верхней части пружины (рис. 6), видим, что в поперечном сечении витка возникают два внутренних силовых фактора:
- поперечная сила Q = F
- крутящий момент М_КР = FD / 2.
Отсюда следует, что в поперечном сечении витка пружины действуют только касательные напряжения сдвига и кручения.

Будем считать, что напряжения сдвига распределены по сечению равномерно, а напряжения кручения определяются, как при кручении прямого кругового цилиндра.
Эпюры распределения напряжений сдвига и кручения, а также эпюра суммарных напряжений в точках горизонтального диаметра сечения представлены на рис. 6.

Из суммарной эпюры видно, что наибольшие касательные напряжения возникают в точке В, ближайшей к оси пружины:

τ_max = τ_сдв + τ_кр = Q / S + М_кр / W_р = F / (πD³ / 4) + (FD / 2) / πd³ / 16),

откуда получаем:

τ_max = (8FD / πd³) / (d / 2D + 1).

Если пружина имеет относительно большой средний диаметр и изготовлена из относительно тонкой проволоки, то первое слагаемое в скобках (соответствующее напряжению сдвига) значительно меньше единицы и в практических расчетах им можно пренебречь; тогда:

τ_max = (8FD / πd³).

Для приближенного расчета цилиндрических пружин на прочность применяется формула:

τ_max = (8FD / πd³) ≤ [τ]      (1)

Поскольку пружины обычно изготавливают из высококачественной стали, допускаемое напряжение принимают равным в пределах [τ] = 200….1000 МПа.

***



Расчет осадки цилиндрической пружины

Далее выведем формулу для определения уменьшения высоты (осадки) λ пружины. Для этого мысленно разобьем пружину на бесконечно малые участки длиной dl, которые ввиду малости длины будем считать прямолинейными, и учитывая только потенциальную энергию деформации кручения, получим:

U = ∫_l [(М_кр² dl / (2GI_p)] = М_кр² l / (2GI_p),

где l = πDn – длина проволоки пружины.

Работа силы F, приложенной к пружине статически, будет равна W = Fλ / 2.
Так как W =U, то М_кр = FD / 2, следовательно I_p = πd⁴ / 32, тогда получаем:

Fλ / 2 =[(Fλ / 2)² πDn] / (2G πd⁴ / 32), откуда: λ = 8 FD³n / (Dd⁴).

Эту формулу можно записать в таком виде:
λ = F / С,
где: С = Gd⁴ / 8D³n – коэффициент жесткости пружины.
При λ = 1, С = F, поэтому коэффициент жесткости численно равен силе, вызывающей осадку, равную единице длины.
Отношение среднего диаметра витков к диаметру проволоки обозначают С_n и называют индексом пружины:

С_n = D / d.

Обычно индекс пружин равен С_n = 4….12.

При более точных расчетах винтовых пружин учитывают кривизну их витков и вводят в числитель формулы (1) поправочный коэффициент К ≈ 1 + 1,45 / C_n.

***

Пример расчета цилиндрической пружины

Определить диаметр проволоки стальной пружины, если под действием силы F = 800 Н ее осадка λ = 39 мм.
Индекс пружины С_n = 6, число витков n = 14.
Модуль упругости стали пружины G = 8 х 10⁴ Мпа, допускаемое напряжение [τ] = 450 МПа.

Решение.

Используя формулу для определения индекса пружины С_n = D / d, получим: D = С_n d. Подставляем это значение D в формулу для определения осадки пружины:

λ = 8 FD³n / (Dd⁴) = 8 FD³n / (Gd⁴) = 8 F С_n³ d³ n / (Gd⁴), откуда найдем d и после подстановки числовых значений получим:

d = 8 F С_n³ n / λ G = 8 х 800 х 106 х 14 / 39 х 10^-3 х 8 х 104 х 106 = 7 х 10^-3 м = 7 мм.

Итак, диаметр проволоки цилиндрической пружины должен быть не менее 7 мм, а средний диаметр самой пружины D = С_n d = 6 х 7 = 42 мм.

***

Материалы раздела "Кручение":

• Понятие о кручении цилиндрического бруса (вала)
• Построение эпюр крутящих моментов
• Деформации и напряжения, возникающие при кручении
• Расчеты на прочность и жесткость при кручении
• Расчет цилиндрических винтовых пружин

Сочетание основных деформаций