Техническая механика





Сопротивление материалов

Сочетание деформаций



Сочетание деформаций изгиба и растяжения или сжатия

Элементы реальных конструкций чаще всего подвергаются сложным внешним нагрузкам, вызывающим напряжения разного характера, в результате чего имеет место совместное проявление (сочетание) рассмотренных ранее простых видов деформаций. На практике часто приходится иметь дело с сочетанием основных деформаций - растяжением (сжатием), изгибом, кручением, срезом и т. п. Задачи сопромата в таких случаях сводятся к определению суммарных напряжений от разных видов деформаций и нагрузок, при этом применяются разные методы и приемы.
На этой страничке рассмотрен пример определения суммарных напряжений, возникающих в сечениях бруса при сочетании деформаций сжатия (растяжения) и поперечного либо чистого изгиба.

сочетание деформаций изгиба и сжатия

Рассмотрим брус длиной L постоянного поперечного сечения площадью А, защемленный одним концом и нагруженный произвольно направленной силой F, приложенной в центре тяжести сечения (см. рисунок).
Разложив силу F на продольную (вдоль оси бруса) и поперечные составляющие (вдоль осей x, y, z), можно убедиться, что такая сила вызывает два вида деформаций - растяжение (сжатие) и поперечный изгиб бруса, причем изгиб может состоять из двух составляющих, ориентированных в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

Если пренебречь касательными напряжениями изгиба, которые при рассматриваемых видах деформаций относительно малы, и применить принцип независимости действия сил, то максимальные нормальные напряжения в опасном сечении (заделке) можно вычислить для каждой из составляющих силы F:

σр = Fz / A;      σ = ± FyL / Wx;      σ = ± FxL / Wx.

Построим эпюры возникающих в опасном сечении напряжений и рассмотрим сочетание этих напряжений по поверхности сечения. Очевидно, что максимальные суммарные напряжения возникнут в точке Е (см. рисунок) и будут напряжениями растяжения:

σmax = σЕ = (Fz / A) + (FyL / Wx) + (FxL / Wy).

Деформации подобного рода встречаются, например, в крюках грузоподъемных механизмов или в винтах слесарных тисков.

***




Внецентренное сжатие и растяжение бруса

Сложные деформации другого рода вызываются силами, параллельными оси бруса, но не проходящими через центр тяжести его сечения, т. е. так называемым внецентренным сжатием (ранее изученный вид деформации можно назвать центральным сжатием).

Рассмотрим брус прямоугольного сечения площадью А = bh (см. рисунок), к которому на расстоянии e от оси приложена параллельная ей сила F.

сочетание основных деформаций в сопромате

В центре тяжести сечения вдоль оси приложим две противоположно направленные силы F’ и F’’, равные по модулю силе F . Полученную систему трех сил можно рассматривать, как силу F’, приложенную в центре тяжести сечения и пару сил F и F’’ с моментом m = Fe.
Сила F’ сжимает брус, а пара сил F и F’’ стремится изогнуть его.
В результате получим сочетание центрального сжатия и чистого изгиба, при этом возникающие в сечении напряжения можно определить по формулам:

σр = - F / A;       σ = ± Mи / W,

а суммарные напряжения можно определить по формуле:

σ = σс + σи = - (F / A) ± (Mи / W).

Максимальные суммарные напряжения будут напряжениями сжатия:

σmax = - (F / A) - (F e / W).

Эпюры нормальных напряжений сжатия σс, изгиба σи и суммарная эпюра представлены на рисунке.

***

Ядро сечения

Чтобы в брусе не возникали напряжения растяжения (недопустимые, например, в кирпичной или каменной кладке), должно выполняться неравенство:

σс ≥ σи, или F / A ≥ Mи / W, откуда е ≤ W / A.

Для бруса прямоугольного сечения предельное значение эксцентриситета:

е = W / A = (bh2 / 6) : bh = h/6.

Для бруса круглого сечения диаметром d предельное значение эксцентриситета будет равно:

е = W / A = (πd3/32) : (πd/4) = d/8.

Ввиду полярной симметрии круга геометрическое место предельных положений точек приложения сжимающей силы F будет представлять собой окружность диаметром d/4. Круг, расположенный внутри этой окружности, называется ядром сечения (см. рисунок).

Для прямоугольного бруса сечением b×h ядро сечения представляет собой ромб с диагоналями h/3 и b/3 (см. рисунок).

В случае внецентренного растяжения расчеты производятся по таким же формулам, с учетом знаков напряжений.

***

Гипотезы прочности